Question

数学题，在线等解答

已知四边形ABCD，连接AC、BD交于点O，且满足条件：AB+DC=AD+BC,AB²+AD²=BC²+DC²。
（1）若AB=AD，求证：∠BAC=∠BCA。
（2）若AB＞AD，当AD绕点O逆时针旋转180°时，点D能否落在线段OB上，并说明理由。
要求有清楚的步骤

Answer 1

(1)∵AB+DC=AD+BC，AB=AD，AB2+AD2=BC2+DC2，
两边同减AB（=AD）得DC=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAC+∠ACB=∠BCA+CBA
∴∠BAC=∠BCA

（2）
∵AB＞AD，AB+DC=AD+BC,AB²+AD²=BC²+DC²
∴点D能落在线段OB上

Answer 2

证明：设AB=a，AD=b，AB+DC=AD+BC=m，则DC=m-a，BC=m-b

∵AB的平方+AD的平方=BC的平方+DC的平方，∴a²+b²=（m-b）²+（m-a）²，去括号得m=a+b，

即AB+DC=AB+AD,所以DC=AD;同理可证AB=BC.所以∠BAC=∠BCA

∴△ADC和△ABC均为等腰三角形，线段OD、OB分别是△ADC和△ABC的高；因为AB＞AD，∴OB＞OD，∴当OD绕点O逆时针旋转180°时，点D能落在线段OB上。