Question

一个线性代数问题。齐次方程R(A)<n有非零解，和克莱姆法则A的行列式等于零有非零解二者有什么关系怎么互推

Answer 1

我帮你理解一下
在矩阵中（应用范围更广）
AX=0 一定有解
如果有非零解 则|A|=0或R(A)<n
如果只有零解 则|A|≠0或R(A)=n（这两个条件是等价的）
克莱姆法则中：（只能用在n阶方阵中）
|A|=0有非零解，
|A|≠0只有零解
他们是一致的；
克莱姆法则举例说明
ax=0 当a≠0，显然x=0
如果 a=0，我们不能得出x=0
因为lim(sinx/x)=1 当x趋于0时，
就这个意思

Answer 2

克莱姆法则只能解系数矩阵为方阵的线性方程组。因为R（A）=R（A，0），所以Ax=0总有解。
因为秩是最高阶非零子式的阶数，所以R（A)=n等价于detA≠0，根据克莱姆法则方程只有零解
R（A）<n等价于detA=0，此时方程可化成行阶梯型矩阵，自变量中有n-R(A)个自由变量，所以总有非零解，这些解构成了解空间，用基础解系表示。

Answer 3

怎么可能互推呢，AX=0系数矩阵未必是方阵，就未必有行列式。

假设A是方阵，则“R(A)<n“与“A的行列式等于零”才是显然等价的，无论从秩的定义，还是从方阵的特征值，还是从初等变换的角度都可容易证明。

Answer 4

在矩阵中
AX=0 如果有非零解 则R(A)<n
如果A是方阵的话，则|A|=0 或R(A)<n（这两个条件等价）
对一楼的补充，
其实我们习惯上说|A|也就默认了A是方阵了，因为不然的话|A|就不存在。
一楼表达不严格，但不影响理解