Question

已知函数f（x）=（ax＋b）／（1＋x²）是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（1／2）=2／5

已知函数f（x）=（ax＋b）／（1＋x²）是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（1／2）=2／5（1）求函数f（x）的解析式。（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明。（3）解关于x的不等式f（log2x—1）+f（log2x）＜0

Answer 1

（1）是奇函数，而且原函数在x=0时有定义，所以f(0)=0,可得b=0,然后把x=1/2代入原函数可求出a=1,所以f(x)=x/(1+x^2)
(2)我们不妨取x大于0小于1，原函数分子分母同除以x，得f(x)=1/(1/x+x)，x+1/x这个是我们熟悉的耐克函数，它在（0,1）的范围内是单调减的，所以原函数是单调增的且都大于0
同理，如果我们取的x属于（-1,0），耐克函数同样单调减的，所以原函数是单调增的且都小于0
我们判断它是增函数
证明，在（-1,1）取x1,x2 ，令x1<x2,证明f(x1)-f(x2)<0
左边=（1-x1*x2)*(x1-x2)/(1+x1^2)*(1+x2^2)
x1*x2<1, 所以1-x1*x2>0 x1-x2<0，所以分子是负的
1+x1^2>0 1+x2^2>0 ，所以分母是正的
所以左边小于0，得证
（3）化简得f（log2x—1）<-f（log2x），因为原函数是奇函数，所以又可以化简的
f（log2x—1）<f（-log2x）
因为是单调增，所以log2x—1<-log2x，求得
x属于（0，√10)这里还没有结束，要注意定义域
log2x—1，log2x属于（-1,1），求得x属于(1/2，5)
综上所述，x属于（1/2，√10）

Answer 2

解：（1）∵f（x）是奇函数∴f(0)=0,∴b/1＝0∴b=0
∵f（1／2）=2／5∴½a／[1＋（½）²]＝2／5,解得a＝1
∴f(x)=x／（1＋x²）
（2）f(x)在（-1，1）上单调递增
证明：设x1,x2∈（-1,1）,x1＜x2
f(x1)-f(x2)=x1／（1＋x1²）－x2／（1＋x2²）
＝（x1－x2）（1-x1x2）／（1＋x1²）（1＋x2²）
∵（1＋x1²）（1＋x2²）＞0,
1-x1x2＞0,x1－x2＜0
∴f(x1)-f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在（-1，1）上单调递增
（3）

Answer 3

第一个题的答案是：f（x）=x／（1＋x²） 第二个问题的答案是:单调增加 证明 略 第三个问题的答案是：X小于0