Question

跪求高中三角函数高手 求解啊，详细步骤谢谢。

已知0<a<π/4,且0<β<π/4,且3sinβ=sin(2a+β),4tana/2=1-tan^2 a/2,求a+β的值

Answer 1

由3sinβ=sin(2a+β)可 左边：3sinβ=3sin[(β+a)-a]=3sin(a+β)cosa-3sinacos(a+β)
右边:sin(2a+β)=sin(a+β)cosa+sinacos(a+β)
左边=右边可得:tan(a+β)=2tana①
由4tana/2=1-tan^2 a/2可得2tana=cota/2②以及(tana/2+2)^2=5③
因为0<a<π/4故tana/2>0,得到tana/2=√5-2即tana=0.5
即tan(a+β)=1
总的思路就是（a+β）当成整体来做，至于计算方面您自己再看看吧，呵呵

Answer 2

因为 0<α<π/4 所以0<α/2<π/8
由 4tan(α/2)=1-tan^2(α/2)
解得 tan(α/2)=-2-(根号5) 或tan(α/2)=(根号5)-2
又因为 0<α/2<π/8
所以 tan(α/2)＞0
所以 tan(α/2)=(根号5)-2
所以 tanα=[2*tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}
得 tanα=1/2
由 3sinβ=sin(α+β)
可得 tan(α+β)=2tanα
即 tan(α+β)=2*(1/2)=1
因为 0<α<π/4,0<β<π/4
所以 0＜α+β＜π/2
又 tan(α+β)=1
所以 α+β=π/4

Answer 3

3sinβ=sin(2a+β)展开得3sinβ=sin2acosβ+cos2asinβ
两边同除以cosβ,得3tanβ＝sin2a+cos2atanβ
移项合并,得tanβ＝2sin2a/(3－cos2a)
sin2a=2sina*cosa
3-cos2a=4-2(cosa)^2=4(sina)^2-2(cosa)^2
所以tanβ＝2sina*cosa/[4(sina)^2-2(cosa)^2]
两边同除以(cosa)^2,得tanβ=(tana)^2/[2(tana)^2-1]
tan(a+β)=(tana+tanβ)/(1-tana*tanβ)
代入tanβ=(tana)^2/[2(tana)^2-1]得tan(a+β)=2tana
tana=tan2*a/2=2tan(a/2)/[1-(tana/2)^2]=0.5
因为4tan(a/2)=1-(tana/2)^2
所以tana=2tan(a/2)/4tan(a/2)=0.5
所以tan(a+β)=2tana=1,所以a+β=π/4