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“希望杯”数学邀请赛培训题
初中二年级
选择题（以下每个题的四个选择支中，仅有一个是正确的）
1，已知 且 ，那么 （ ）
（A）化简为0 （B）化简为－
（C）化简为－ （D）不能再化简
2．已知 是任意实数，有4个不等式：① ；② ；③ ；④ ，那么不等式关系一定成立的有（ ）个。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．已知关于 的方程 有唯一解，那么 的值的情况是（ ）。（A） （B） （C） 或 （D） 且
4．已知关于 的方程 的解是负数，那么 的值的情况是（ ）
（A） （B） （C） 且 （D）
5．已知寻于任意有理数 ，关于 的二元一次方程 都有一组公共解，则公共解为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．设 则 的关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．若 为有理数且满足 那么 与3的大小关系是（ ）
（A） （B）
（C） （D）无法确定的
8．已知 为正数，且 则 的值是（ ）
（A） （B）2 （C）1 （D）
9．5个有理数中，若其中任意4个数的和都大于另一个数，那么这5个有理数中（ ）
（A）最多有4个是0 （B）最多有2个是0
（C）最多有3个是0 （D）最多有1个是0
10．把自然数 的各位数字之和记为
如 7＝13，若对于某些自然数满足
则 的最大值是（ ）
（A）2025 （B）2023 （C）2021 （D）2019
11．已知四个方程① ；② ；③ ；④
，其中有实数解的方程的个数是（ ）个。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
12．解分式方程 有增根 则 的值等于（ ）
（A）1 （B）0 （C）－1 （D）－2
13．下列计算中，正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
14．计算 的结果是（ ）
（A） （B） （C） （D）
15．如图，已知点 是 的中点，点 在 上，
则 的长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
16．已知平面中有 个点 三个点在一条直线上， 四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时 等于（ ）
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
17．已知一个直角∠ 以 为端点在∠ 的内部画10条射线，以 以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。
（A）110 （B）132 （C）66 （D）65
18．一张长方形的纸 如图2将 角折起到 处，作∠ 的
平分线 ，则∠ 的大小是（ ）
（A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定
19．如图 △ 中，∠ 的
点， 若 的大小是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
20．已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是（ ）
（A）6 （B）7 （C）8 （D）10
21．如图平形四边形 中，
，且 ，则平行四边形 的周长是（ ）
（A）4 （B） （C）2 （D）8
22．如图，平形四边形 中，
的中点， 的大小是（ ）
（A） （B） （C） （D）
23．如图，梯形 中， ‖ 是 的中点， 恰好是
平分 若 则 的长是（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
24．如图△ 中， 点在 上，
连 是 的中点，延长 交 于 则
的比是（ ）
（A） （B） （C） （D）
25．如图△ 中， 为钝角， 为 上的中线，
为 上的高，若 则 的大小是（ ）
（A） （B） （C） （D）不确定
二、填空题
26．已知： 那么1－ 的值是＿＿。
27．已知： 则 的值是＿＿。
28．计算： 的结果是＿＿。
29．计算： 的结果是＿＿＿。
30．若 则 的值等于＿＿或＿＿。
31．设 则 的大小关系是＿＿＿。
32．分解因式 的结果是＿＿＿。
33．设 则 的最小值是＿＿＿。
34．已知实数 满足 则 的取值范围是＿＿＿。
35．若实数 使代数式 有意义，则 的取值范围是＿＿＿。
36．若实数 使分式 的值为零，则 的值等于＿＿＿。
37．方程 的一组解为 ，则 的值是＿。
38．若代数式 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则 的最大值是＿＿＿。
39．已知： 的值等于＿＿＿。
40．已知： 的大小关系是＿＿＿。
41．要使代数式 的值是正整数，那么整数 的值应是＿＿＿。
42．已知多项式 的值恒等于两个因式 乘积的值，那么 等于＿＿＿。
43．已知 是实数，且满足 那么分式
的值是＿＿＿。
44．设 是一个关于 的二次多项式，且 其中 是与 无关的常数，则 的表达式是＿＿＿。
45．若 为自然数， 为整数，且满足
46．若二元一次方程组 的解中， 的值相等，那么 的值等于＿＿＿。
47．若a是510510的一个质因数，且 仍为质数，那么满足上述条件的数共有＿＿个。
48．一个质数a小于13，且它分别加上4或10之后仍然是质数，则质数a等于＿＿＿。
49．已知实数 使得代数式 取得最小值，则 的值等于＿＿＿。
50．如果最简二次根式 是同类二次根式，则
51．已知 ，则二次根式 的值是＿＿＿。
52．设23和4是两个五进制度，则这两个数的乘积的五进制表示法是＿＿＿。
53．如图， 是一条直线， 则图中的
纯角共有＿＿个。
54．不相等的两角 和 的两边分别平行，其中 角比 角的3倍少20 ，则 的大小是＿＿＿。
55．如图，四边形 中， 点在 上，且 平分
，则 的大小是＿＿＿。
56．两个角 的补角互余，则这两个角的和 的大小是＿＿＿。
57．一个等腰三角形的周长是12，且三条边长都是整数，则三角形的腰长是＿＿＿。
58．如图，在等腰三角形ABC中， 为 边的
三等分点，则 的大小关系是＿＿＿。
59．已知 为三角形的三条边长，满足条件 若三角形的一个内角为 ，则三角形的另两个角的大小分别是＿＿＿。
60．若三角形的周长为 ，且三条边中有两条边的长为两个连续奇数，则三角形的三条边长分别是＿＿＿。
61．已知三角形的两条边长分别是 它们的高分别为 ，若 ，那么该三角形的面积是＿＿＿。
62．如图△ABC中， 边上的高，
上一点且 ，延长 的大小是
＿＿＿。
63．如图， △ABC中， 是斜边AB上一点， 垂直于 交 ，且△ 与△ 的面积之比为1：3，
则 等于＿＿＿。
64．如图 △ABC中，
H为垂足，以 为对称轴，作H对称点D，连接 过A作
‖ 交 于 ，则 的长等于＿＿＿。
65．如图，已知等边△ABC内有一点N，
都是垂足，M是△ABC中异于N的另一点，
若 那么 的大
小关系是＿＿＿。
66．如图， △ABC中， E、
F为AB上两点， ‖ ‖ 的值
等于＿＿＿。
67．四边形的四条边长分别为， 满足条件 则此四边形一定是＿＿＿。
68．如图，平行四边形ABCD中，∠A是它的外角的 ，延长
使 过E作 于F，若 则
的长等于＿＿＿。
69．如图平行四边形ABCD中，
且，E，F恰好是 的三等分点，又M、N分别是AB，
的中点，那么四边形 的面积是＿＿＿。
70．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝ ， 交
若 ∠ 的大小是（ ）
71．如图，梯形ABCD中， ‖ 分别是 ，
的中点，若 则 的长
是（ ）
72．如图，P为经段AB上一点，以 为边作一正方形
，以 为底在另一侧作等腰△ ，连接 ，
若AB的长为4，则△ 的面积的最大值等于（ ）
73．如图，四边形 中， 相交于 ，△ 的面
积 △ 的面积 则四边形 的面积的最
小值是（ ）
74．如图，设正方形 的边长为1，在各边上依次取 ，
，使 ，顺次连接得正方
形 ，用同样方法作得正方形， ，并重复
作下去，使新的正方形的顶点在上一个正方形的边上，且使
＝ ，…，这样正方形 的边长等于（ ）
75．已知 是互质的正整数，且 恰为一直角三角形的三条边长，则 的值等于（ ）
三、解答题
76．计算：
77．设 求 的值。
78．某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河水的流速为1．4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远。
79．如图，在 △ABC中， 上两
点， 且 若△ △
的面积分别是△ABC面积的 和 ，求△ABC的面积。
80．如图，正方形 中，E、F为 的上点且
，求证：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D C B C B C
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 C D A C B D C B
题号 17 18 19 20 21 22 23 24 25
答案 D B C B D A C B C
不好意思只有初二
初中二年级
选择题（以下每个题的四个选择支中，仅有一个是正确的）
1，已知 且 ，那么 （ ）
（A）化简为0 （B）化简为－
（C）化简为－ （D）不能再化简
2．已知 是任意实数，有4个不等式：① ；② ；③ ；④ ，那么不等式关系一定成立的有（ ）个。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．已知关于 的方程 有唯一解，那么 的值的情况是（ ）。（A） （B） （C） 或 （D） 且
4．已知关于 的方程 的解是负数，那么 的值的情况是（ ）
（A） （B） （C） 且 （D）
5．已知寻于任意有理数 ，关于 的二元一次方程 都有一组公共解，则公共解为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．设 则 的关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．若 为有理数且满足 那么 与3的大小关系是（ ）
（A） （B）
（C） （D）无法确定的
8．已知 为正数，且 则 的值是（ ）
（A） （B）2 （C）1 （D）
9．5个有理数中，若其中任意4个数的和都大于另一个数，那么这5个有理数中（ ）
（A）最多有4个是0 （B）最多有2个是0
（C）最多有3个是0 （D）最多有1个是0
10．把自然数 的各位数字之和记为
如 7＝13，若对于某些自然数满足
则 的最大值是（ ）
（A）2025 （B）2023 （C）2021 （D）2019
11．已知四个方程① ；② ；③ ；④
，其中有实数解的方程的个数是（ ）个。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
12．解分式方程 有增根 则 的值等于（ ）
（A）1 （B）0 （C）－1 （D）－2
13．下列计算中，正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
14．计算 的结果是（ ）
（A） （B） （C） （D）
15．如图，已知点 是 的中点，点 在 上，
则 的长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
16．已知平面中有 个点 三个点在一条直线上， 四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时 等于（ ）
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
17．已知一个直角∠ 以 为端点在∠ 的内部画10条射线，以 以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。
（A）110 （B）132 （C）66 （D）65
18．一张长方形的纸 如图2将 角折起到 处，作∠ 的
平分线 ，则∠ 的大小是（ ）
（A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定
19．如图 △ 中，∠ 的
点， 若 的大小是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
20．已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是（ ）
（A）6 （B）7 （C）8 （D）10
21．如图平形四边形 中，
，且 ，则平行四边形 的周长是（ ）
（A）4 （B） （C）2 （D）8
22．如图，平形四边形 中，
的中点， 的大小是（ ）
（A） （B） （C） （D）
23．如图，梯形 中， ‖ 是 的中点， 恰好是
平分 若 则 的长是（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
24．如图△ 中， 点在 上，
连 是 的中点，延长 交 于 则
的比是（ ）
（A） （B） （C） （D）
25．如图△ 中， 为钝角， 为 上的中线，
为 上的高，若 则 的大小是（ ）
（A） （B） （C） （D）不确定
二、填空题
26．已知： 那么1－ 的值是＿＿。
27．已知： 则 的值是＿＿。
28．计算： 的结果是＿＿。
29．计算： 的结果是＿＿＿。
30．若 则 的值等于＿＿或＿＿。
31．设 则 的大小关系是＿＿＿。
32．分解因式 的结果是＿＿＿。
33．设 则 的最小值是＿＿＿。
34．已知实数 满足 则 的取值范围是＿＿＿。
35．若实数 使代数式 有意义，则 的取值范围是＿＿＿。
36．若实数 使分式 的值为零，则 的值等于＿＿＿。
37．方程 的一组解为 ，则 的值是＿。
38．若代数式 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则 的最大值是＿＿＿。
39．已知： 的值等于＿＿＿。
40．已知： 的大小关系是＿＿＿。
41．要使代数式 的值是正整数，那么整数 的值应是＿＿＿。
42．已知多项式 的值恒等于两个因式 乘积的值，那么 等于＿＿＿。
43．已知 是实数，且满足 那么分式
的值是＿＿＿。
44．设 是一个关于 的二次多项式，且 其中 是与 无关的常数，则 的表达式是＿＿＿。
45．若 为自然数， 为整数，且满足
46．若二元一次方程组 的解中， 的值相等，那么 的值等于＿＿＿。
47．若a是510510的一个质因数，且 仍为质数，那么满足上述条件的数共有＿＿个。
48．一个质数a小于13，且它分别加上4或10之后仍然是质数，则质数a等于＿＿＿。
49．已知实数 使得代数式 取得最小值，则 的值等于＿＿＿。
50．如果最简二次根式 是同类二次根式，则
51．已知 ，则二次根式 的值是＿＿＿。
52．设23和4是两个五进制度，则这两个数的乘积的五进制表示法是＿＿＿。
53．如图， 是一条直线， 则图中的
纯角共有＿＿个。
54．不相等的两角 和 的两边分别平行，其中 角比 角的3倍少20 ，则 的大小是＿＿＿。
55．如图，四边形 中， 点在 上，且 平分
，则 的大小是＿＿＿。
56．两个角 的补角互余，则这两个角的和 的大小是＿＿＿。
57．一个等腰三角形的周长是12，且三条边长都是整数，则三角形的腰长是＿＿＿。
58．如图，在等腰三角形ABC中， 为 边的
三等分点，则 的大小关系是＿＿＿。
59．已知 为三角形的三条边长，满足条件 若三角形的一个内角为 ，则三角形的另两个角的大小分别是＿＿＿。
60．若三角形的周长为 ，且三条边中有两条边的长为两个连续奇数，则三角形的三条边长分别是＿＿＿。
61．已知三角形的两条边长分别是 它们的高分别为 ，若 ，那么该三角形的面积是＿＿＿。
62．如图△ABC中， 边上的高，
上一点且 ，延长 的大小是
＿＿＿。
63．如图， △ABC中， 是斜边AB上一点， 垂直于 交 ，且△ 与△ 的面积之比为1：3，
则 等于＿＿＿。
64．如图 △ABC中，
H为垂足，以 为对称轴，作H对称点D，连接 过A作
‖ 交 于 ，则 的长等于＿＿＿。
65．如图，已知等边△ABC内有一点N，
都是垂足，M是△ABC中异于N的另一点，
若 那么 的大
小关系是＿＿＿。
66．如图， △ABC中， E、
F为AB上两点， ‖ ‖ 的值
等于＿＿＿。
67．四边形的四条边长分别为， 满足条件 则此四边形一定是＿＿＿。
68．如图，平行四边形ABCD中，∠A是它的外角的 ，延长
使 过E作 于F，若 则
的长等于＿＿＿。
69．如图平行四边形ABCD中，
且，E，F恰好是 的三等分点，又M、N分别是AB，
的中点，那么四边形 的面积是＿＿＿。
70．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝ ， 交
若 ∠ 的大小是（ ）
71．如图，梯形ABCD中， ‖ 分别是 ，
的中点，若 则 的长
是（ ）
72．如图，P为经段AB上一点，以 为边作一正方形
，以 为底在另一侧作等腰△ ，连接 ，
若AB的长为4，则△ 的面积的最大值等于（ ）
73．如图，四边形 中， 相交于 ，△ 的面
积 △ 的面积 则四边形 的面积的最
小值是（ ）
74．如图，设正方形 的边长为1，在各边上依次取 ，
，使 ，顺次连接得正方
形 ，用同样方法作得正方形， ，并重复
作下去，使新的正方形的顶点在上一个正方形的边上，且使
＝ ，…，这样正方形 的边长等于（ ）
75．已知 是互质的正整数，且 恰为一直角三角形的三条边长，则 的值等于（ ）
三、解答题
76．计算：
77．设 求 的值。
78．某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河水的流速为1．4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远。
79．如图，在 △ABC中， 上两
点， 且 若△ △
的面积分别是△ABC面积的 和 ，求△ABC的面积。
80．如图，正方形 中，E、F为 的上点且
，求证：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D C B C B C
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 C D A C B D C B
题号 17 18 19 20 21 22 23 24 25
答案 D B C B D A C B C
不好意思只有初二
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