Question

【数学】求解积分方程

已知f(x)为一次函数，且f(x)=x+2∫f(t)dt（积分区间：0→1），求f(x)
这个答案很简单，直接设f(x)=kx+b就行，答案为“f(x)=x-1”
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如果去掉“f(x)为一次函数”的条件，还能不能求解？

Answer 1

这个假设是“多此一举”，毫无必要。
因为是定积分，结果必然是常数，f(x)必然就是一次函数。

如果积分上下限不是常数，就得看积分的上下限的具体情况了，
如果只是从常数积到x的话，可以找到积分因子(IF=Integral Factor)；
如果上下限是特别的函数的话，一般而言，是解不出来的。

Answer 2

可以看出f就是一次函数设为y=x+a
则∫f(t)dt=(1/2x^2+ax)(0到1）
=1/2+a=a/2
a=-1
y=x-1