Question

高中数学题求解 如图

Answer 1

若a₁>0, a₁≠1, a‹n+1›=2a‹n›/(1+a‹n›), (n=1, 2, 3,......)
①求证 a‹n+1›≠a‹n›
②令a₁=1/2, 写出a₂,a₃,a₄,a₅的值,并求出通项公式a‹n›=?
③证明存在不等于零的常数P,使{(a‹n›+P)/a‹n›}是等比数列,并求出公比q的值.
解: ①用反证法:若a‹n› =a‹n+1› ,则有 a‹n›=2a‹n› /(1+a‹n›),于是有
a‹n›(1+a‹n› )-2a‹n›=a‹n›²-a‹n›=a‹n›(a‹n›-1)=0
因此有a‹n›=0或a‹n›=1,从而有a₁=0或a₁=1,这与条件矛盾,故a‹n+1›≠a‹n›.
②当a₁=1/2时, a₂=2/3, a₃=4/5, a₄=8/9, a₅=16/17.............
③b₁=(1/2+P)/(1/2)=1+2P, b₂=(2/3+P)/(2/3)=(2+3P)/2,
b₃=(4/5+P)/(4/5)=(4+5P)/4, b₄=(8/9+P)/(8/9)=(8+9p)/8,...........
令b₂/b₁=b₃/b₂,并化简得(2+3p)/(1+2P)=(4+5P)/(2+3P)
即(2+3P)²=(1+2P094+5P), 展开化简得 P(P+1)=0,故得P=-1.
【可以验证:当P=-1时, b‹n›=(a‹n›-1)/a‹n›是首项为-1,公比为1/2的等比数列.】