Question

高中数学题目，数学高手帮忙

题目如下，
已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点, B(0,4)是椭圆的一个顶点，若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点，求直线L的方程。

Answer 1

重心是中位线交点。

设L:y=kx+b,   M (x1,y1),   N(x2,y2)

如图MP=NP   3FP=BP   P是MN中点

所以向量BF=2*向量FP   

向量BF=（2，-4）  向量FP  =（（x1+x2)/2-2,(y1+y2)/2)

据向量BF=2*向量FP   解得x1+x2=6，y1+y2=-4，所以P（3，-2）

y1+y2=k(x1+x2)+2b

所以-4=6k+2b............(1)

联立x^2/20+y^2/16=1和y=kx+b,

得（4+5k^2)x^2+10kbx+5b^2-80=0

6=x1+x2=-(10k^2)/（4+5kb).......(2)

根据（1）（2）解得k=6/5  b=-28/5

所以L  y=6/5x-28/5

Answer 2

设直线方程：y=kx+b(其他一样），与椭圆联立得到x1+x2和y1+y2(含有k和b).F2是右焦点，知到坐标。又是重心，通过三角形性质，找出M、N两点中点的坐标（用x1、x2、y1、y2），得到中点与中心的关系，求出重点坐标，解出x1+x2和y1+y2，求出直线的方程

Answer 3

由题意得：
由相似可求得：
三角形中点坐标是（3，-2）
设直线方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得（5k^2+4)+10kb+5b^2-80=0
x1+x2=-b/a=-10kb/5k^2=4=6 ①
将（3，-2)代入y=kx+b得b=-2-3k ②
将①代入②得 20k=24
解得k=6/5 ③
将③代入②得-28/5
所以y=6/5x-28/5
整理得6x-5y-28=0

Answer 4

（1）由f（0）、f（2）、f（6）成
等差数列
，
可得2log2（2+m）=log2m+log2（6+m），
即（m+2）2=m（m+6）且m>0，解得m=2.
（2）由f（x）=log2（x+2），可得2f（b）=2log2（b+2）=log2（b+2）2，
f（a）+f（c）=log2（a+2）+log2（c+2）=log2［（a+2）（c+2）］，
∵a、b、c成
等比数列
，∴b2=ac，
又a、b、c是两两不相等的正数，
故（a+2）（c+2）=ac+2（a+c）+4>ac+4
+4=b2+4b+4=（b+2）2
∴log2［（a+2）（c+2）］>log2（b+2）2，即f（a）+f（c）>2f（b）

Answer 5

第一题:
依题意：f（0）=log2（m）
，f（2）=log2（m+2），f（6）=log2（m+6）
成等差数列，
所以log2（m）+log2（m+6）=2log2（m+2），即m*（m+6）=（m+2)^2
,解得m=2
第二题:
由第一题,f(x)=log2(x+2),则f(a)=log2(a+2),
f
(b)=log2(b+2)
,
f(c)=log2(c+2),f(a)+f
(c)=log2(ac+2a+2c+4)=log2[b^2+2(a+c)+4],
因为
a+c>b(a,b,c是两两不相等的正数,且为等比数列),所以f(a)+f
(c)=log2[b^2+2(a+c)+4]>log2[b^2+2b+4]=log2(b+2)^2=2log2(b+2)=2f(b)
得证！（b^2表示b的平方）