Question

过椭圆C：(x^2)/4+y^2=1的右焦点作直线L交椭圆C于M，N两点，且M,N到直线x=4/√3的距离之和为√3，求直线L

过椭圆C：(x^2)/4+y^2=1的右焦点作直线L交椭圆C于M，N两点，且M,N到直线x=4/√3的距离之和为√3，求直线L的方程。

Answer 1

设M(x1,y1),N(x2,y2),直线L的方程为x=√3或y=k(x-√3),M，N到直线x=4/√3的距离分别为d1,d2.
(1)若直线L的方程为x=√3,有x1=x2=√3,d1=d2=4/√3-√3=√3/3，
d1+d2=2√3/3≠√3,不合题设．
(2)若直线L的方程为y=k(x-√3),有
x^2+4k^2(x-√3)^2-4=0
整理得：(1+4k^2)x^2-8√3k^2x+12k^2-4=0
x1+x2=8√3k^2/(1+4k^2)
∵d1=4/√3-x1,d=4/√3-x2,d1+d2=√3
∴x1+x2=5/√3
∴8√3k^2/(1+4k^2)=5/√3
解得：k=±√5/2
∴直线L的方程为:y=±√5/2(x-√3),