Question

高数中关于等价无穷小的题目 我们知道sinX与X等价无穷小，可是sin2X与2X是等价无穷小，还是2sinX与2X？

另外这里有一道例题。请大家帮忙，并详细分析。
第二道题是关于函数连续的问题，本人认为选B，可答案是C。忘高手热心帮忙。对每个选项仔细分析。

Answer 1

首先说等阶小 当x趋于0时 sin2x~2x 2sinx~2x 因为sin2x=2sinxcosx x趋于0时 cosx趋于1
然后是选择题：若题目只是说函数连续 那么只需n>0.因为x趋于0时 sin（1/x）有界 。
只需x^n趋于0就行。
但注意到题目说的是每一点上都可导。
根据导数定义在0点 f‘(x)=lim[x^nsin(1/x)]/x=limx^(n-1)sin(1/x)（下标为x趋于0） 要f'(x)存在 则n-1>0即n>1 所以选c
B项错在只注意到连续 每注意到0点导数是否存在
A项连续条件都不满足 D可直接算出导数不存在

Answer 2

解：应该是sin2x~2x,, 因为Lim(x->0)sin2x/2x=1 => sin2x~2x；同样2sinx~2x
因为Lim(x->0)2sinx/2x=0 ,和sinx~x本质一样。
注意无穷小量和有界函数的乘积仍然是无穷小量！你说的第二题就是运用此原理。
根据连续的定义有Lim(x->xo)=f(xo) 即左右极限相等并且等于此点的函数值。
选用A, Lim(x->0)1/x*sin1/x 不存在，所以不连续；排除！
选B，C时，当x<0 时 x^n 当n是奇数时，函数x^n在R上无意义，排除！
所以当选D时， 为Lim(x->0)x*sin(1/x)=0=f(0) 左右极限均满足，所以应该选D.

Answer 3

x趋近于0时sin2x就=2sinx，因为sin2x=2sinxcosx,cosx趋近于1，至于你的题太小了看不见。