Question

设f（x)是定义在（0，+∞）的函数，对定义域内的任意x，y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且x＞1时，f(x)＞0

①写出一个符合要求的函数，并猜想f（x)在（0，+∞）上的单调性 ②若f（2）=1，解不等式f(x)+f(x-3)≤2

Answer 1

解：①∵f(xy)=f(x)+f(y)，定义域大于0，符合对数函数的性质，又x＞1时，f(x)＞0
∴底数大于1，不妨设为e
∴符合要求的函数为f（x)＝lnx,在（0，+∞）上单调递增
②设0＜x1<x2＜＋∞,则x2/x1＞1
∵f(xy)=f(x)+f(y)
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1x2／x1)＝f(x1)－f(x1)－f(x2/x1)＝－f(x2/x1)
∵x＞1时，f(x)＞0
∴－f(x2/x1)＜－1＜0
∴f(x)在（0，＋∞）上单调递增
∵f(2)=1
∴f(2)+f(2)=f(4)=2
∴不等式转化为f(x)+f(x-3)≤f(4)
即f(x(x-3))≤f(4)
由函数的定义域及函数的单调性可得
x＞0,x-3＞0,x（x-3）≤4
联立解得3＜x≤4

Answer 2

f(x)=lgx
则x>0,f(x)是增函数

假设f(x)=loga(x)
f(2)=loga(2)=1
a=2
所以f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]=log2(x²-3x)≤2=log2(4)
递增
则0<x²-3x≤4
x²-3x=x(x-3)>0,所以x<0,x>3
x²-3x-4=(x+1)(x-4)≤0，所以-1≤x≤4
且x>0,x-3>0
所以3<x≤4

Answer 3

（1）y=x 在（0，+∞）递增
（2）f（2）=1 即2= f（2)+f(2) =f(4) f(x)+f(x-3)≤2 即f(x²-3x）≤f（4）
x²-3x＞0 且x²-3x≤4 解得x属于 [-1,0)U(3,4]

Answer 4

阿萨德