Question

定义若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0，有f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点

以知函数f(x)=ax^2+(b+1)x+b-1(a≠0)求①a=1,b=-2时，求函数f(x)的不动点②若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求a的取值范围

Answer 1

解：①a=1,b=-2时，f(x)=x²－x－3,
令x²－x－3＝x,解得，x=3,或者x=-1
∴不动点为（3,3），（-1，-1）
②令ax^2+(b+1)x+b-1=x,整理得
ax²＋bx＋b-1＝0,
∵方程有两个不等实根
∴Δ＝b²－4a（b-1）＝b²-4ab＋4a＞0恒成立
b²-4ab＋4a＝0看成关于b的二元一次方程
根据b²-4ab＋4a＞0恒成立，b的二元一次方程无解
∴Δ′＝（-4a）²－4×4a＜0,解得0<a<1

Answer 2

①a=1,b=-2时,f(x)=x^2-x-3
x=x^2-x-3,x=3或-1
不动点为3,和-1