Question

就差这题了：一道简单的椭圆数学问题。高中生都可以进。

已知椭圆C:3分之（x平方）+2分之（y平方）=1,若AC,BD为椭圆C的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值。
好嘛。= =。个就是你了。
均值不等式神马的看不懂。但记得老师讲过。
不多说了，寒假作业数学最后一小题了，快快杀青。

Answer 1

96/25

先设B D的坐标..
然后设BD方程:y=k(x-1),与椭圆联立得到一个方程,然后算Δ=48(k²+1)
接着用韦达,算出x1+x2,x1x2,代入弦长公式可得|BD|=[4根号3(k²+1)]/(3k²+2)
由于AC丄BD,因此AC的长度直接可以写出来,方法是把|BD|中的k全部换成-1/k
可得|AC|=[4根号3(k²+1)]/(2k²+3)
四边形ABCD的面积可分为两个三角形即ABD和BDC.而刚好AC⊥BD.所以S=0.5|AC||BD|=.........=24(k²+1)²/(2k²+3)(3k²+2)≥24(k²+1)²/[(5k²+5)/2]²(这里打的有点乱.其实就是均值不等式)=96/25

当BD斜率为0或BD⊥x轴时.可求得S=4
综上,面积最小值为96/25

..这道题我做过,貌似07年全国卷?

- -嗯.查了一下这个是对的

Answer 2

若使四边形ABCD的面积的最小，取特殊情况
即AC与X轴重合，BD过F2与X轴垂直
F2（1,0）
代入方程中B（1,2/√3）
AC=a=√3
BD=4/√3
四边形ABCD的面积=1/2×√3×4/√3=2