Question

已知a>0且a≠1,f(x)=loga(ax-根号x）。当a>1时，判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论

Answer 1

单调递增。设x1>x2>1/a平方，
则f(x1)-f(x2)=loga((ax1-√x1)/(ax2-√x2))
=loga(1+(ax1-√x1-ax2+√x2)/(ax2-√x2))
而ax1-√x1-ax2+√x2=a(√x1+x2)(√x1-√x2)-(√x1-√x2)
=(√x1-√x2)(a√x1+a√x2-1)
>(√x1-√x2)(a*√(1/a的平方）-a√（1/a的平方)-1）
=(√x1-√x2)(a*1/a+a*1/a-1)
=√x1-√x2>0(因为x1>x2>1/a平方)
故ax1-√x1-ax2+√x2>0,即1+(ax1-√x1-ax2+√x2)/(ax2-√x2)>1,
也即f(x1)-f(x2）>0，而x1>x2，a>1
所以f(x)单调递增,证毕！（√是根号）

Answer 2

令t=根号x（t≥0），则f(x)=loga(at²-t)
根据对数定义，有
at²-t＞0，由于a＞1，故
t(at-1)＞0，得t＞1/a
令g(t)=at²-t (t＞1/a)，则
g(t)导数 g'(t)=2at-1
由于t＞1/a，故2at＞2， 2at-1＞1，即
g'(t)＞0，故g(t)在定义域上单调递增，
又a＞1，故 loga(g(t))在定义域上单调递增，
即a＞1时，f(x)在定义域上单调递增