Question

设命题P:存在x∈R,x²+2ax-a=0,命题q:所有x∈R,ax²+4x+a≥-2x²+1。

如果命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围...

Answer 1

命题P:存在x∈R,x²+2ax-a=0
等价于命题：4a²+4a≥0
命题q:所有x∈R,ax²+4x+a≥-2x²+1。
等价于命题：a+2>0且16-4(a+2)(a-1)≤0
p且q为假命题等价于非p或非q为真命题
故有命题P:(a≥0)或(a≤-1)
命题q:a≥2
p或q：(a≥0)或(a≤-1)
非p或非q：a<2
两者交集为：(a≤-1)或(0≤a<2)
所以a的取值范围为a≤-1或0≤a<2
（或用形式逻辑：永真式为
(p∨q)∧[¬(p∧q)]
等价于(p∨q)∧[¬p∨¬q]
等价于(p∨q)∧¬p∨[(p∨q)∧¬q]
等价于q∧¬p∨(p∧¬q)
q∧¬p:空集
p∧¬q:a≤-1或0≤a<2

Answer 2

命题P:存在x∈R,x²+2ax-a=0
等价于命题：4a²+4a≥0
命题q:所有x∈R,ax²+4x+a≥-2x²+1。
等价于命题：a+2>0且16-4(a+2)(a-1)≤0
p且q为假命题等价于非p或非q为真命题
故有命题P:(a≥0)或(a≤-1)
命题q:a≥2
p或q：(a≥0)或(a≤-1)
非p或非q：a<2
两者交集为：(a≤-1)或(0≤a<2)
所以a的取值范围为a≤-1或0≤a<2
（或用形式逻辑：永真式为
(p∨q)∧[¬(p∧q)]
等价于(p∨q)∧[¬p∨¬q]
等价于(p∨q)∧¬p∨[(p∨q)∧¬q]
等价于q∧¬p∨(p∧¬q)
q∧¬p:空集
p∧¬q:a≤-1或0≤a<2