Question

请高手解释高数例题 求极限 lim(tanx)^tan2x ，x→∏/4

真是让人着急，数学式子不好输入。原题是用洛必达解得，是1^∞型。
解 lim(tanx)^tan2x =e^limtan2x lntanx=e^lim lntanx/cot2x=e^lim sec^2 x/tanx／-2csc^2 2x=e^lim-sin^2 2x／2sinxcosx=e^-1。(sec^2 x、sin^2 2x是表示三角函数secx、sin2x的平方)
请问第三个等号到第四个等号是如何得出的？

还有这道例题 求极限 lim x-sinx/tanx(e^x^2-1) x→∏/4
解 lim x-sinx/tanx(e^x^2-1)=lim x-sinx/x x^2=lim1-cosx/3x^2=1/6 (e^x^2是表示e的x次方的2次方。x x^2表示x乘以x的平方。)
请问 第一个等号前的分母tanx(e^x^2-1)是如何变成等号后分母x x^2的？
不好意思，特此更正一下，第二个例题是 x→0。

Answer 1

详细解答请参见图片，点击放大，荧屏放大再放大：

Answer 2

第三个等号到第四个等号是三角函数变形得到的
(secx)^2 = 1/ (cosx)^2, 1/tanx= cosx /sinx, 1/(csc2x)^2=(sin2x)^2
sec^2 x/tanx／-2csc^2 2x= 1/ (cosx)^2 * cosx /sinx * (sin2x)^2 /(-2) =sin^2 2x／2sinxcosx
第二题用等价无穷小，x->0, tanx ~ x, (e^x^2-1) ~ x^2

Answer 3

第一题三式到四式使用了洛必达法则，五式只是利用sec²x=1/cos²x,csc²x=1/sin²x将四式整理了一下，如果觉得吃力建议重新找出高中课本复习。
第二题利用了等价无穷小的性质，当x→0时，e^x-1~x，如果觉得生疏建议复习无穷小的比较。