Question

已知矩形ABCD中,AE⊥BD于E,BE:ED=1:3,若AB=4cm,则BD的长为___,矩形ABCD周长为多少

RT

不要用相似来解，根据矩形的性质来解题

Answer 1

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
由题意，有AE*AE=BE*DE，设DE=3BE=3a，那么AE*AE=3a*a，AE=a√3，DE=3a√3
勾股定理，AB*AB=AE*AE+BE*BE，AB=4，那么16=a*a+a√3*a√3=4a*a
a=2，那么AE=2√3，DE=3BE=6，BE=2
BD=BE+DE=2+6=8
勾股定理，AD*AD=AE*AE+DE*DE，那么，AD^2=12+36=48，AD=4√3
周长=2AB+2AD=8+8√3