Question

请帮忙解答数学题，谢谢！

如图，在四棱锥V--ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面VAB⊥侧面VBC
（1）求证VA⊥AD;
（2）若VA⊥AB，设直线VD与平面VBC所成角为θ，平面VAD与平面VBC所成锐二面角为ψ，试判断θ与ψ的大小关系，并证明你的结论。

Answer 1

抱歉才看到你的问题。我只能用手机作答了。1）证明：因为面VBC垂直VAB,BC垂直AB,得BC垂直VA,又BC//AD,得AD垂直AV。2）用向量方法求解。易知VA垂直面ABCD，且本题中直线VD及面VAD与面VBC所成角（为了书写方便分别记为角P,Q）均为锐角(0,pi/2)。不防设AB=a,AD=b,AV=c。现以A为坐标原点分别以AB、AD所在直线为x、y轴。则得坐标A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,b,0),V(0,0,0),得向量{BC=(0,b,0),BV=(-a,0,c),DV=(0,-b,c)}设平面VBC的一个法向量为n=(t1,t2,1),则有向量{n.BC=0;n.BV=0},即b*t2=0,-a*t1+c=0,解得t1=c/a,t2=0,于是法向量n=(c/a,0,1),不防取一个法向量为n1=(c,0,a),易知平面VAD的一个法向量为n2=(1,0,0),于是面VBC与面VAD夹角余弦值为cosQ=|n1.n2|/(|n1|*|ln2|)=c/(a^2+c^2)^0.5,易得其正弦值为sinQ=a/(a^2+c^2)^0.5,而直线VD与面VBC所成角的正弦值为sinP=|n1.DV|/(|n1|*|DV|)=ac/{[(a^2+b^2)^0.5][(a^2+c^2)^0.5]},于是得sinQ/sinP=[(b^2+c^2)^0.5]/c>1,(a,b,c>0),从而有角Q>角P。

Answer 2

上面我答的有一处笔误坐标V应(0,0,c)，还少了句以AV所在直线为z轴,哈哈，结论应该是正确的，觉得行可采纳一楼哈，手机答题书写易出错。。谢谢理解