Question

已知圆O1,圆O2外切于P,AB是两圆的外公切线,切点为A,B连心线O1O2叫圆O1于C,交圆O2于D，CA和DB的延长线相交Q

求证：CQ垂直于DQ，△ABQ相似于△DCQ

Answer 1

证明：∵圆O1,圆O2外切于P
∴可以通过P作两圆的公切线，设此公切线为PR，与AB交于R点
∵AB是两圆的外公切线
从而根据圆的切线性质，得 RA=RP,RB=RP
∴∠RAP=∠RPA ① ∠RBP=∠RPB ②
①+②得 ∠RAP+∠RBP=∠RPA+∠RPB
∵∠RAP+∠RBP+∠RPA+∠RPB=180度
∴∠RAP+∠RBP=∠RPA+∠RPB=180度/2=90度
又PC，PD 是圆O1,圆O2的直径
∴∠PAC=90度(直径上的圆周角是直角)，∠PBD=90度(直径上的圆周角是直角)
从而 ∠PAQ=180度-∠PAC=180度-90度=90度
∠PBQ=180度-∠PBD=180度-90度=90度
得到 ∠Q=360度-∠PAQ-∠PBQ-∠RPA-∠RPB
=360度-90度-90度-90度
=90度
∴CQ垂直于DQ

在三角形ABQ中
∠QAB=180度-∠BAO1-∠CAO1 ①
∵B是两圆的外公切线,AO1是圆O1的半径
∴根据公切线性质，得 ∠BAO1=90度 ②
又AO1，CO1是圆O1的半径
∴∠CAO1=∠ACO1 ③
由①②③得 ∠QAB=180度-∠BAO1-∠CAO1
=180度-90度-∠ACO1
=90度-∠ACO1 ④
在直角△DCQ中
∠QDC=90度-∠QDC ⑤
又∠ACO1=∠QDC ⑥
由④⑤⑥得 ∠QAB=∠QDC
又∠AQB=90度=∠CQD
∴△ABQ相似于△DCQ（两个角分别对应相等的两个三角形相似）