Question

若不等式x^2-4x+9>mx对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则实数m的取值范围是------。

Answer 1

x^2-4x+9>mx
x^2-(m+4)x+9>0
f(x)=x^2-(m+4)x+9开口向上，对称轴x=-[-(m+4)]/2=(m+4)/2

当对称轴在区间(0,+∞)左侧时，即：（m+4)/2≤0，m≤-2时，区间为单调增区间，只要满足f(0)＞0即可：f(x)=0-0+9=9恒成立，即m≤-2时肯定满足要求；

当当对称轴在区间(0,+∞)内时，只要满足最小值＞0即可：
{ 4*9-[-(m+4)]^2 } /(4*9)＞0
4*9-(m+4)^2＞0
-6＜m+4＜6
-10＜m＜2

综上：m＜2

Answer 2

解:因为x^2-4x+9>mx对任意的x∈(0,+∞)恒成立，
所以当x∈(0,+∞)，不等式两边同除以x，不等式方向不改变，则x-4+9/x＞m
即x+9/x＞m+4，
因为x+9/x≥6
所以m+4＜6
所以m＜2

Answer 3

题：若不等式x²-4x+9＞mx对任意实数x∈R+恒成立。
求实数m的取值范围。
解：原不等式可化为：x²+9＞(m+4)x.
∵由题设可知，x＞0. ∴该不等式两边同除以x,可得：
x+(9/x) ＞m+4..
由基本不等式可知，当x＞0时，恒有x+(9/x) ≥6.等号仅当x=3时取得。
即当x＞0时，恒有x+(9/x) ≥6.
∴由题设可设，实数m应满足：m+4＜6. ∴m＜2.
∴m∈(-∞,2).

Answer 4

因为x>0,所以两边可以同时除以x，分离出m<x-4+9/x,只要m<(x+9/x-4)的最小值2，即m<2

Answer 5

-8<m<2