Question

数列极限证明： (2的n次方-n）分之一是无穷小量

Answer 1

证明：【1】易知，当n≥3时，恒有：
n＜(2^n)-n＜2^n.
∴1/(2^n) ＜1/[(2^n)-n] ＜1/n..(n=3,4,5,6,…….).
【2】易知，当n----+∞时，2^n--+∞
∴ 当n--+∞时，就有0＜1/2^n＜1/[(2^n)-n] ＜1/n.
∴由“夹逼定理”可知，Iim1/[(2^n)-n]=0.(n-+∞).
即1/[(2^n)-n]是“当n-+∞时”的无穷小。

Answer 2

用ε-N定义证明
对任意ε>0, 取N=[1/ε],当n>N时,
|an - 0|=|1/[(2^n)-n]|≤|1/[(2n)-n]| = 1/ n<ε
故 lim an=0