Question

计算:1/1*3+3/3*5+5/5*7+...+99/99*101为什么要=1/2*[(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+...+(1/99-1/101)]

为什么要=1/2*后面的呢？1/2是怎么来的呢？
希望老师能够详细讲解

Answer 1

1/1*3+3/3*5+5/5*7+...+99/99*101=1/3+1/5+1/7+1/7+...
你说的情况应该是
1/1*3+1/3*5+1/5*7+...=1/2*[(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+...+(1/99-1/101)]
因为
1/n-1/(n+2)=2/n(n+2)
从而
1/n(n+2)=1/2[1/n-1/(n+2)]
这个是裂项
1/1*3+1/3*5+1/5*7+...=1/2*[(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+...+(1/99-1/101)]=
=1/2[1-1/101]=50/101

Answer 2

因为原题中的每一项的通项=1/(2n-1)*(2n+1)=1/2*[1/(2n-1)-1(2n+1)]
其中:n=1,2,3,......50.