Question

如图 在正方形ABCD中 E为BC上一点 过点E作AE的垂线分别交CD、AB的延长线于F、C 求证BE=BG+FC

如图 在正方形ABCD中 E为BC上一点 过点E作AE的垂线分别交CD、AB的延长线于F、C 求证BE=BG+FC

Answer 1

做BM‖EF交CD于M，

很容易证明△ABE≌△BCM，有对应边相等，BE=CM=FM+FC，

而BGFM是平行四边形，

BG=FM，

故有BE=BG+FC

Answer 2

过G作GH垂直直线DC于H，则四边形BGHC是矩形，GH=BC，BG=CH。
因为四边形ABCD是正方形，所以，AB=BC=GH，
因为AE垂直EF，所以，角BAE+角AGE=90度，
而角HGF+角AGE=90度，所以，角BAE=角HGF，
因为角ABE=角GHF=90度，
所以，三角形ABE全等三角形GHF（ASA）
所以，BE=EH=CE+CH=BG+CF。

Answer 3

容易证明:△GBE~△FCE
所以,BG/BE=CF/CE
BG=BE*CF/CE

容易证明:△ABE~△ECF
所以,BE/AB=CF/EC
BE=AB*CF/EC=BC*CF/EC(因为AB=BC)
=(BE+EC)*CF/EC=BE*CF/EC+CF
=BG+CF(因为,上面已证明BG=BE*CF/CE)