Question

概率论问题，求极大似然估计。

设随机变量ξ的密度函数为f(x)=e^(-|x|/δ)/2δ，ξ1,ξ2,...,ξn为ξ的容量为n的样本，试求ξ的极大似然估计。
请写明具体过程。

Answer 1

Answer 2

参数为δ。
L(δ)=f(ξ1,ξ2,...,ξn;δ)=f(ξ1)f(ξ2)...f(ξn)
=[(1/2δ)^n]*exp{-(1/δ) (|ξ1|+|ξ2|+...|ξn|)}
为方便暂记|ξ1|+|ξ2|+...|ξn|=m.
即
L(δ)=[(1/2δ)^n]*e^(-m/δ)=(1/2^n)*[δ^(-n)]*[e^(-m/δ)]
为求L最大值对L关于δ求导
L'(δ)=(1/2^n)*{[-nδ^(-n-1)]*[e^(-m/δ)]+δ^(-n)*[e^(-m/δ)]*(-m)(-1/δ^2)}
=(1/2^n)*[e^(-m/δ)][-nδ^(-n-1)+mδ^(-n-2)]
=(1/2^n)*[e^(-m/δ)]*δ^(-n-2)[-nδ+m]

令L'(δ)=0
此时 δ=m/n. 并判断出在δ=m/n左侧L递增，右侧递减。
于是δ在m/n点令L取得最大值。

极大似然估计
MLE(δ)=m/n=(|ξ1|+|ξ2|+...|ξn|)/n
=即|ξ|的平均值