Question

已知函数f(x)=2lnx-x^2.如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2.

已知函数f(x)=2lnx-x^2.如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2.
求证：g'(px1+qx2)<0（其中正常数p、q满足p+q=1,q≥p）。

Answer 1

分析：本题易用反证法。我们设AB中点C(xo,0),则有xo=(x1+x2)/2,由p+q=1,q>=p,且p,q为正实数易得0<p<=1/2。那么(px1+qx2)-xo=px1+(1-p)x2-(x1+x2)/2=(x1-x2)(2p-1)/2>=0,(0<x1<x2)得到(px1+qx2)>=xo。由g(x)=2lnx-x^2-ax，得其一阶导数g'(x)=2/x-2x-a，再对g'(x)求导,得其二阶导数g"(x)=-2/x^2-2<0,(x>0),知g'(x)在x>0上单调递减，得g'(px1+qx2)<=g'(xo)，于是要证g'(px1+qx2)<0,只需证g'(xo)<0即可。下面采用反证法证明。假设g'(xo)>=0成立。结合已知可得2lnx1-x1^2-ax1=0.....(1),2lnx2-x2^2-ax2=0......(2),2/xo-2xo-a>=0......(3),xo=(x1+x2)/2......(4),联立四式消去a得，存在0<x1<x2使得ln(x2/x1)-2(x2-x1)/(x2+x1)<=0，即ln(x2/x1)-2[(x2/x1)-1]/[(x2/x1)+1]<=0......(5)。令x2/x1=t,(t>1)并记h(t)=lnt-2(t-1)/(t+1),(t>1)求导易得h'(t)=(t-1)^2/[t(t+1)^2]>0,(t>1)则有h(t)在t>1上单调递增，又h(t)可在t=1处连续，于是h(t)>h(1)=0,(t>1)即lnt-2(t-1)/(t+1)>0亦即ln(x2/x1)-2[(x2/x1)-1]/[(x2/x1)+1]>0但与(5)式相矛盾，因此g'(xo)>=0这一假设是不成立的，进而有g'(xo)<0,于是g'(px1+qx2)<=g'(xo)<0从而g'(px1+qx2)<0，命题得证。

Answer 2

f'(x)=2x-a+2/x=0
2x^2-ax+2=0
x1+x2=a/2
x1*x2=1
判别式=a^2-16>0
a^2>16
f(x1)+f(x2)=x1^2+x2^2-a(x1+x2)+8+2ln(x1*x2)
=(x1+x2)^2-2x1x2-a(x1+x2)+8
=a^2/4-2-a*a/2+8
=-a^2/4+6
<2
应该是的吧