Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都满足f（x+y）=f（y）+（x+2y+ 1）x ，切f（1）=0

（1）求f（0）
（2）求f（x）的解析式
（3）当x属于【0,1/2】是，f（x）+3<2x+a，恒成立

Answer 1

(1)将X设为1，Y设为0代入原函数中，可得F(1)-F(0)=2,即F(0)=-2；
(2)令y=1
f(x+1)-f(1)=x(x+2+1)
f(x+1)=x(x+3)=(x+1-1)(x+1+2)
f(x)=(x-1)(x+2）=x^2+x-2
(3)由题意得，x^2+x-2+3-2x<a 即x^2-x+1<a 令u(x)=x^2-x+1 x∈(0,1/2) 则 u(x)∈(3/4,1) 当x=0，u(x)max=1 所以a>=1 g(x)=x^2+x-2-ax=x^2+(1-a)x-2 由数形结合可知，对称轴x=-(1-a)/2小于或等于-2 或大于或等于2，解得a小于等于-3或大于等于5 CRB∈(-3,5) A交CRB∈[1,5) （这里集合没法打出来，将就点用区间表示）

Answer 2

（1） 令x=1,y=0,代入原式得f(1+0)=f(0)+2 得到f(0)=f(1)-2=0-2=-2
(2) 令y=0: f(x+0)=f(0)+(x+0+1)*x 得到f(x)=x^2+x-2
(3) 【0，1/2】区间，使a>x^2-x+1恒成立即可。抛物线对称轴x=1/2.最大值时x=1/2, x^2-x+1=3/4. 所以a>3/4

Answer 3

1. 令X=-1，Y=1，f（0）=f（1）+（-1+2+1）x-1=-2
2.令y=0,f(x)=f(1)+(x+1)x=x2+x
3.对f(x)求导，f‘（x）=2x+1，当x属于【0,1/2】，f(X)为单调递增函数，且x=1/2时，f（1/2)=2,为最大值，f（1/2)+3=5<1+a，，，，应该还有个关于a的条件吧，，