Question

正方体ABCD-A1B1C1D1 以D为原点 DA DC DD1分别为X Y Z轴建立空间直角坐标系点P在体对角线BD1上 点Q在CD 上

1.当点P为AB的重点，Q在棱CD上运动 ，探求PQ的最小值
2. 当点P在AB上运动，点Q在CD上运动时，探求PQ的最小值
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Answer 1

1，
设正方体边长为1，则各点坐标分别为（D（0,0,0），A(1,0,0)，B（1,1,0），C（0,1,0），D1(0,0,1），A1（1,0,1），B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，
点P为AB的重心，则坐标为P(1/2，1/2，1/2)，
设Q（0，y，0），0≤y≤1，
则PQ²=（1/2-0）²+（1/2-y）²+（1/2-0）²，
当y=1/2时，PQ有最小值√2 /2。
2，
因为P在xoy平面投影是y=x，在yoz平面投影是z+y=1，
所以设P（y1，y1，1-y1），0≤y1≤1，
Q（0，y2，0），0≤y2≤1，
则PQ²=（y1-0）²+（y1-y2）²+（1-y1-0）²
=y1²+(1-y1)²+（y1-y2)²
=1/2+（y1-1/2)²+（y1-y2)²，
当y1-1/2,y1-y2都最小时有最小值，
可见只有y1=y2=1/2，这时最小值为√2 /2。

Answer 2

P=13685