Question

若函数f(x)=a的x次方-x-a（a大于0且a不等于1）有两个零点，则实数a的取值范围是？

Answer 1

是指：f(x)=a^x-x-a，（a大于0且a不等于1）有两个零点？
令f(x)=A(x)-B(x)，其中A(x)=a^x，B(x)=x+a。于是本题等价于f(x)=0有两个解，即曲线A(x)和直线B(x)有两个交点。
易知A(x)是一个指数函数，其任一点x处的切线斜率为A'(x)=lna*a^x。斜率为1时的切点x1坐标满足A'(x1)=lna*a^x1=1，于是x1=loga(1/lna)。由题意：a大于0且a不等于1，故只要该切点在直线B(x)的下方即可，即B(x1)=loga(1/lna)+a>A(x1)=a^(loga(1/lna))。
对上式，即loga(1/lna)+a>1/lna，化简即可得。

Answer 2

解：
f(x)＝a^x－x－a＝0
a^x＝x＋a
令g(x)＝a^x(a＞0且a≠1)，h(x)＝x＋a
分情况：
①0＜a＜1
②a＞1
可分别画出图象
若f(x)＝a^x－x－x有两个零点
g(x)与h(x)有两个不同的交点
a的取值范围是(1，＋∞)