Question

数列-公式推导

以下是推导一个公式"a<n>=a<1>+r(1-p^n)/(1-p)"的过程
a<n+1>=p*a<n>+q (a<n+1>表第n+1项)
a<n>=p*a<n-1>+q
两式相减得a<n+1>-a<n>=p(a<n>-a<n-1>)
设r=a<2>-a<1>
所以a<3>-a<2>=p(a<2>-a<1>)=pr ; a<4>-a<3>=p(a<3>-a<2>)=p^2*r
依此类推
a<n>=a<1>+(a<2>-a<1>)+(a<3>-a<2>)+...............+(a<n-1>-a<n-2>)+(a<n>-a<n-1>)
=a<1>+r+pr+p^2*r+..............+p^(n-1)*r [这就是我要问的,为什麼是加到p^(n-1)*r而不是加到p^(n-2)*r]
=a<1>+r(1-p^n)/(1-p)

但是由a<n>=a<1>+(a<2>-a<1>)+(a<3>-a<2>)+...............+(a<n-1>-a<n-2>)+(a<n>-a<n-1>)=a<1>+r+pr+p^2*r+..............+p^(n-1)*r
第2个等号之后的各项其后项为前项的p倍,且(a<n>-a<n-1>)为(a<3>-a<2>)之后第(n-3)项。(a<3>-a<2>)对应的是p^1*r,故(a<n>-a<n-1>)所对应的应为p^(1+n-3)*r=p^(n-2)*r才对
能帮我找出这种推理方式的盲点吗,感激不尽

Answer 1

这位同学你好，关于这个推导过程其实是没有错误的，如果你的递推式a<n+1>=p*a<n>+q 是正确的。错误是出在了"a<n>=a<1>+r(1-p^n)/(1-p)"这个公式，按照你所给的递推式a<n+1>=p*a<n>+q，所得到的公式应该是a<n>=a<1>+r(1-p^<n-1>)/(1-p)。你可用以下发放检验：a<n+1>=p*a<n>+q，即a<n+1>-q/(1-p)=p*(a<n>-q/(1-p))，{a<n>-q/(1-p)}是公比为p的等比数列(p不等于1，由所推公式可知)，a<n>-q/(1-p)=(a<1>-q/(1-p))*q^<n-1>从而得a<n>=q/(1-p)+(a<1>-q/(1-p))*q^<n-1>=a<n>=a<1>+r(1-p^<n-1>)/(1-p)，其中r=a<2>-a<1>，与你上述推导结果是完全吻合的。