Question

已知双曲线C的中心在原点，抛物线y^2=2根号5x 的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线C过点(1，根号3)

已知双曲线C的中心在原点，抛物线y^2=2根号5x 的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线C过点（1，根号3 ）
求1。双曲线方程
2.设直线y=kx+1与双曲线交与A.B两点，问：是否存在实数k，是A.B两点关于直线y=mx对称（m为常数），若存在，求出k,若不存在，说明理由
y^2=2根号5x 下面回答我知道..但..有点问题...根号我不会打..是不是漏看了？！

Answer 1

解：1）易得抛物线与双曲线共同焦点为(5^0.5,0),于是在双曲线中c^2=a^2+b^2=5,又x^2/a^2-y^2/b^2=1过(1,3^0.5),代入得1/a^2-3/b^2=1,联立解得a^2=1,b^2=4,故双曲线方程为x^2-y^2/4=1。2）用点差法。设直线y=kx+1与双曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(xo,yo),则有x1+x2=2xo,y1+y2=2yo,又A,B在曲线上有x1^2-y1^2/4=1,x2^2-y2^2/4=1,两式相减得AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=4(x1+x2)/(y1+y2)=4xo/yo,即kyo=4xo......(1)若A,B关于直线y=mx对称，则中点M(xo,yo)必在其上有yo=mxo......(2)联立(1)(2)解得k=4/m,(m!=0)但直线y=kx+1与直线y=mx垂直又得k=-1/m !=4/m,（矛盾）因此这样的实数k是不存在的。（本题易判断m不为零）

Answer 2

你说对了，我是大意了，焦点为((5^0.5)/2,0),双曲线方程应为4x^2-y^2=1,点差法仍得k=4xo/yo,后面一样了，仍可得k=4/m与k=-1/m,(m!=0)矛盾，从而得这样的实数k是不存在的。我的方法是这样的，手机答题不能在原来上面改了，希望理解哈，觉得方法可行，可采纳一楼我的解答。注：符号"^"后面的数代表指数。如5^0.5表示根号5。