Question

f(x+y)=f(x)*f(y) x>0 f(x)<1 求单调性

Answer 1

f(x+y)=f(x)*f(y)
因为f(1)=f(1+0)=f(1)*f(0),所以f(0)=1
所以f(0)=f(-x+x)=f(-x)f(x)=1.

先证明对于任意x，f(x)>0，
因为f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)*f(x/2)≥0,
若f(x)=0,因为f(-x)f(x)=1.，所以无论f(-x)等于多少，f(-x)f(x)=1不成立。所以f(x)>0.

再证明当x<0时，f(x)>1.
因为若存在某个x<0,使得f(x)≤1，则因为-x>0,所以f(-x)<1，所以f(x)f(-x)<1，
这与f(-x)f(x)=1矛盾。
所以当x<0时，f(x)>1。

所以对于任意x1<x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)=f(x1)-f(x1)*f(x2-x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)]
因为x1<x2，x2-x1>0,所以f(x2-x1)<1
所以1-f(x2-x1)>0
而f(x1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)是单调递减函数。

Answer 2

f(x)是单调递 增 函数

Answer 3

f(x)是单调递函数