Question

第13届希望杯数学邀请赛初二第1试的第25题怎么解？

简单，能让我明白就行，我的数学还是不错的
（题目是：已知n为自然数，且n²+17n+73是完全平方数，则n的值为______或______)

Answer 1

令y=n^2+17n+73=a^2
则n^2+17n+72=a^2-1
∴(n+8)(n+9)=(a+1)(a-1)③（十字相乘）
原方程(视a为常数) 有Δ=17^2-4*（73-a^2）=4a^2-3
要使该方程有整数解,
有Δ=4a^2-3=b^2
易得a=-1或1(用Δ知识去证明)
代入③,③=0
这就表明③成立的条件为a=-1或1
∴n＝-8或-9
所以题错了 应为 已知n^2-17n+73是完全平方数！
两种方法
一，这个方法非常好，楼主一定记住啊
设n^2-17n+73=y^2,y是整数，且n为自然数
因此n^2-17n+73-y^2=0这个方程应该有自然数的根
因此根为n=[17加减（根号（4y^2-3））]/2,考虑y的值，因此，n=8或者9
二，
令y=n^2-17n+73=a^2
则n^2-17n+72=a^2-1
∴(n-8)(n-9)=(a+1)(a-1)③（十字相乘）
原方程(视a为常数)Δ=4a^2-3
要使该方程有整数解,
有Δ=4a^2-3=b^2
易得a=-1或1(用Δ知识去证明)
代入③,③=0
这就表明③成立的条件为a=-1或1
∴n＝8或9
累死了，加工资啊！

Answer 2

显然(n+8)^2=n^2+16n+64<n^2+17n+73<n^2+18n+81=(n+9)^2
因为n^2+17n+73在两个连续的完全平方数之间,所以n^2+17n+73不是完全平方数

Answer 3

楼主似乎题目错了 应该是n²-17n+73才是完全平方数。。。
(n+8）²=n²+16n+64<n²+17n+73<n²+18n+81=(n+9）²
因为n²+17n+73在两个连续的完全平方数之间
所以n²+17n+73不是完全平方数

因为n²-17n+73是完全平方数，所以
关于n²-17n+73=x²有两个相同的实数根
即关于n的n²-17n+(73-x²)=0（x看作常数）
因为这个方程n要有自然数的根
用伟达定理就可以求出n
因此根为n=[17加减（根号（4x²-3））]/2,
考虑x为完全平方数，根号（4x²-3）为奇数
n=9或8