Question

过点P（2，1）的直线分别与坐标轴交于A,B两点，求使|OA|*|OB|取最小值时的直线方程

过点P（2，1）的直线分别与坐标轴交于A,B两点，求使|OA|*|OB|取最小值时的直线方程

Answer 1

设过点P（2，1）的直线为y=kx+b，把P点的坐标代入得到b=1-2k
即直线为y=kx+1-2k，A（0，1-2k)， B（（2k-1)/k，0）
|OA|*|OB|=|（1-2k)*(2k-1)/k|=(2-1/k)^2
当k=1/2时，积有最小值0
这时和直线方程为 y=1/2x

Answer 2

原题是这样子吧
过点P（2，1）的直线分别与坐标轴正半轴交于A,B两点，求使|OA|*|OB|取最小值时的直线方程
【解】设直线的斜率为K，那么直线可以表示成Y-1=K（X-2）
所以该直线与X轴的交点是（（2K-1）/K ,0) ，与Y轴的交点是（0,1-2K）
因为是交于正半轴，所以（2K-1）/K＞0 ， 1-2K＞0
所以|OA|*|OB|=(2K-1）/K ×(1-2K )
=-(2K-1）²/K=-(4K²-4k+1) /K=(-4k-1/k+4).
由题意得 K＜0 ，当-4k=-1/k 时OA|*|OB|最小。
所以K=-1/2
把K=-1/2代入原直线得X+2Y-4=0

Answer 3

过点P（2，1）的直线分别与坐标轴正半轴交于A,B两点，求使|OA|*|OB|取最小值时的直线方程
【解】设直线的斜率为K，那么直线可以表示成Y-1=K（X-2）
所以该直线与X轴的交点是（（2K-1）/K ,0) ，与Y轴的交点是（0,1-2K）
因为是交于正半轴，所以（2K-1）/K＞0 ， 1-2K＞0
所以|OA|*|OB|=(2K-1）/K ×(1-2K )
=-(2K-1）²/K=-(4K²-4k+1) /K=(-4k-1/k+4).
由题意得 K＜0 ，当-4k=-1/k 时OA|*|OB|最小。
所以K=-1/2
把K=-1/2代入原直线得X+2Y-4=0