Question

高中数学 高分追加（至少50）

锐角三角形中，A的正切值为4t，B的正切值为t，则此三角形最大内角的正切的最小值是？

答案是3

Answer 1

三角形内角和=180度
A+B+C=180
C=180-A-B
tanC=tan(180-A-B)= tan(-A-B)=-tan(A+B)= -(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)= -5t/(1-4t^2)= 5t/(4t^2-1)
因为是锐角三角形，所以tanB=t>0，tanC=5t/(4t^2-1)>0，于是4t^2-1>0，t>1/2
锐角三角形每个角都在0到90度之间，由正切函数在这一区间上的单调递增性质，可以知道越大的角正切值越大，而由于A的正切值必大于B的正切值，因此A必大于B，接下来比较A和C
若A大于等于C，则A的正切值大于等于C的正切值，那么
4t>=5t/(4t^2-1)
4>=5/(4t^2-1)
4t^2-1>=5/4
4t^2>=9/4
2t>=3/2
4t>=3
也就是当A是最大内角时，最大内角的正切值的最小值是3
若C大于等于A，那么
4t<=5t/(4t^2-1)
t<=3/4
5t/(4t^2-1)=1/(4t/5-1/5t)
在t>1/2的条件下，4t/5 随t的增大而增大，1/5t 随t的增大而减小，因而-1/5t 随t的增大而增大，因此4t/5-1/5t 随t的增大而增大，而作为分母的增大，分子=1不变，整个分数变小，也就是1/(4t/5-1/5t) 随着t的增大而减小，并且在t=3/4时取最小值3，也就是当C是最大角时，最大内角的正切值的最小值也是3
综上所述，此三角形最大内角的正切的最小值是3

Answer 2

C=5t/(4t2-1)
都是锐角
所以t>1/2
A-C=4t-5t/(4t2-1)>0 t<1/2(舍去) 或 t>=3/4
A>C>B Amin=4*3/4=3
A-C<0 C>A 1/2< t<=3/4
C=5t/(4t2-1)求导 单调减
Cmin=5*3/4/(4*9/16-1)=3