Question

已知圆C方程为x²+y²-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论m取何

圆C恒有两个公共点。
2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值

Answer 1

1、将直线方程化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0
解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3,1)在圆内
所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点
2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)，
AC的斜率= -1/2，所以L的斜率=2，所以 - (2m+1)/(m+1)=2，所以m= - 3/4