Question

对于函数f(x)=(2^x+a)/(2^x-1)，求定义域

对于函数f(x)=(2^x+a)/(2^x-1)
（1）求函数的定义域
（2）当a为何值时，f（x）为奇函数
（3）讨论（2）中函数的单调性
需要过程

Answer 1

（1）求函数的定义域
2^x-1≠0
x≠0
函数的定义域为x≠0

（2）当a为何值时，f（x）为奇函数
f(x)=(2^x+a)/(2^x-1)
f(-x)=(2^-x+a)/(2^-x-1)
上下乘2^x,因为2^x*2^-x=1
所以f(-x)=(1+a*2^x)/(1-2^x)=-f(x)=-(2^x+a)/(2^x-1)=(2^x+a)/(1-2^x)
所以1+a*2^x=2^x+a
所以(a-1)*2^x-(a-1)=0
(a-1)(2^x-1)=0
此式恒成立则a-1=0 a=1
所以，a=1时 f（x）为奇函数

（3）f(x)=(2^x+1)/(2^x-1)的单调性
x<0时，x1<x2,
f(x1)-f(x2)
=(2^x1+1)/(2^x1-1)-(2^x2+1)/(2^x2-1)
={[(2^x1+1)(2^x2-1)] - [(2^x2+1)(2^x1-1)]} / [(2^x1-1)*(2^x2 -1)]
=2(2^x1 -2^x2) / [(2^x1-1)(2^x2-1)]
x<0时,2^x<1,所以(2^x1-12^x1<0,(2^x2-1)<0
(2^x1-1)(2^x2-1)>0,
2^x1 -2^x2<0
x<0时,单调递减；
同理可分析x>0时，单调递减

Answer 2

1.x不为0；
2.a为1；
3.分两段，都是单调减；