Question

初三数学题，在线等

如图，已知AB是圆O的直径，点C在圆O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB
①求证：PC是圆O的切线
②求证：BC=二分之AB
③点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值。

Answer 1

∠COB=2∠PCB=2∠OCA=2∠OAC
AC=PC，角A=角P
三角形ACO全等于三角形PCB
CO=CB
故三角形OBC为等边三角形
角A为30度
AB为直径，则三角形ACB为直角三角形
M为弧AB中点，则MN为角ACB平分线
角ACN=角BCN=45度
连结BM
同弧所对角相等，角CMB=角CAB=30度
角BNM=角ONC=角NCB+角OBC=105度
则角MBN=45度（三角形内角和）
角MBC=角MBA+角ABC=105度=角BNM
三角形BMN相似于三角形CMB
MC/BM=BM/MN
MC*MN=BM^2
角OBM=45度
三角形OBM为等腰直角三角形，AB=4,半径为2
BM=2根号2
平方为8
MC*MN=8