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我来说一下一般的理论。
像这种一元(只有一个未知数x)的连不等式一般写成f(x)<g(x)<h(x)(也可有等号,f、g、h都是含有x的式子,一般只是1次或者2次多项式,因为中学只学1次和2次不等式的解法)。
这其实是一个不等式组,就是f(x)<g(x)并且且g(x)<h(x),所以无论任何形式的这种连环不等式,都可以化为不等式组来处理。
比如楼主这道题,实际上就是:
x≤15-0.1x①
且15-0.1x≤1.25x②
解①得x≤150/11
解②得x≥100/9
因此解集要同时满足这两个,是100/9≤x≤150/11就完了(如果楼主最基本的一元一次不等式组如何解有不清楚的,可以去看课本)
【注】
(1)有个问题,既然x≤
15-0.1x
≤1.25x,为什么不能化成
x≤15-0.1x①
且x≤1.25x②
或者
15-0.1x
≤1.25x①
x≤1.25x②
这样一个不等式氦姬份肯莓厩逢询抚墨组再去解?
这就是原来的连不等式和你化成的不等式组是不是等同的问题。按照老的化法,相当于a<b<c化成a<b而且b<c,新化法是把它化成a<b且a<c,或者a<c且b<c。仔细想想,这些新的化法没有反应出原来的连不等式的全部信息。原来连不等式是a、b、c从小到大排列,而你化成a<b且a<c,只反映出了“a是最小的”这个信息,没有反映出“b是第二小的”“c是最大的”这两个信息,因此解集肯定不对,同理a<c且b<c也只反映了“c是最大的”,没有反映“a是最小的”“b是第二小”。只有a<b而且b<c,反映了全部信息,一定记住必须这样拆分。
(2)对于某些特殊的连环不等式,比如这道题改一下,变成1≤15-0.1x≤1.25这种形式,有不化为不等式组就可以直接解出来的简便方法。由于只有中间的数含有x,两边没有x,就可以对于连环不等式整体变形,把中间变得只剩下x了,就解出来了(如果两边也有x,那中间只剩x的时候两边还有x,解不出来)。具体做法:
1≤15-0.1x≤1.25
同时减去15
-14≤-0.1x≤-13.75
同时乘-1去掉负号,注意不等号方向改变
14≥0.1x≥13.75
再同时除以0.1
140≥x≥137.5
因此就解出来了,是137.5≤x≤140
我没有单单给楼主说这一道题怎么做,而是说了一下整个这一类连环不等式的解法。总结一下,就是拆开成不等式组(a<b<c一定要拆开成a<b且b<c再解),对于只有中间含有x的特殊情况,可以通过整体变形,把中间变得只剩下x来解(当然如果楼主掌握不了这种方法,就还是乖乖的拆成不等式组做,肯定不会错)。
像这种一元(只有一个未知数x)的连不等式一般写成f(x)<g(x)<h(x)(也可有等号,f、g、h都是含有x的式子,一般只是1次或者2次多项式,因为中学只学1次和2次不等式的解法)。
这其实是一个不等式组,就是f(x)<g(x)并且且g(x)<h(x),所以无论任何形式的这种连环不等式,都可以化为不等式组来处理。
比如楼主这道题,实际上就是:
x≤15-0.1x①
且15-0.1x≤1.25x②
解①得x≤150/11
解②得x≥100/9
因此解集要同时满足这两个,是100/9≤x≤150/11就完了(如果楼主最基本的一元一次不等式组如何解有不清楚的,可以去看课本)
【注】
(1)有个问题,既然x≤
15-0.1x
≤1.25x,为什么不能化成
x≤15-0.1x①
且x≤1.25x②
或者
15-0.1x
≤1.25x①
x≤1.25x②
这样一个不等式氦姬份肯莓厩逢询抚墨组再去解?
这就是原来的连不等式和你化成的不等式组是不是等同的问题。按照老的化法,相当于a<b<c化成a<b而且b<c,新化法是把它化成a<b且a<c,或者a<c且b<c。仔细想想,这些新的化法没有反应出原来的连不等式的全部信息。原来连不等式是a、b、c从小到大排列,而你化成a<b且a<c,只反映出了“a是最小的”这个信息,没有反映出“b是第二小的”“c是最大的”这两个信息,因此解集肯定不对,同理a<c且b<c也只反映了“c是最大的”,没有反映“a是最小的”“b是第二小”。只有a<b而且b<c,反映了全部信息,一定记住必须这样拆分。
(2)对于某些特殊的连环不等式,比如这道题改一下,变成1≤15-0.1x≤1.25这种形式,有不化为不等式组就可以直接解出来的简便方法。由于只有中间的数含有x,两边没有x,就可以对于连环不等式整体变形,把中间变得只剩下x了,就解出来了(如果两边也有x,那中间只剩x的时候两边还有x,解不出来)。具体做法:
1≤15-0.1x≤1.25
同时减去15
-14≤-0.1x≤-13.75
同时乘-1去掉负号,注意不等号方向改变
14≥0.1x≥13.75
再同时除以0.1
140≥x≥137.5
因此就解出来了,是137.5≤x≤140
我没有单单给楼主说这一道题怎么做,而是说了一下整个这一类连环不等式的解法。总结一下,就是拆开成不等式组(a<b<c一定要拆开成a<b且b<c再解),对于只有中间含有x的特殊情况,可以通过整体变形,把中间变得只剩下x来解(当然如果楼主掌握不了这种方法,就还是乖乖的拆成不等式组做,肯定不会错)。
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任何加减乘除都是三个式子一起操作,不等号变号规则同一般不等式
例:8(x-1)<4x+20<8x
先将括号去掉:8x-8<4x+20<8x
三个式子同时-20:8x-28<4x<8x-20
三个式子同时-8x:-28<-4x<-20
三个式子同时÷(-4)不等号改变方向:7>x>5
例:8(x-1)<4x+20<8x
先将括号去掉:8x-8<4x+20<8x
三个式子同时-20:8x-28<4x<8x-20
三个式子同时-8x:-28<-4x<-20
三个式子同时÷(-4)不等号改变方向:7>x>5
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可以把它分成2个不等式,这2个不等式同时成立
8(x-1)<4x+20
4x+20<8x
所以,5<x<7
8(x-1)<4x+20
4x+20<8x
所以,5<x<7
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变成不等式组
4x+20<8x —————— x<5
8(x-1)<4x+20 —————— x<7
所以x<5
4x+20<8x —————— x<5
8(x-1)<4x+20 —————— x<7
所以x<5
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