Question

已知函数f(x)-x^3+ax^2+b（1）若a=1，函数 的图象能否总在直线 的下方？说明理由。

已知函数f(x)-x^3+ax^2+b（1）若a=1，函数 的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由。（2）若函数f(x)在[0,2]上是增函数,x=2是方程 f(x)=0的一个根，求证：f(1)小于等于-2

Answer 1

(1)不能
f(x)=-x^3+x^2+b
=-x^2(x-2)+b
-x^2恒为负的，（x-2)可正可负，
所以存在X0使得-x^2(x-2)>0
所以存在X0使得-x^2(x-2)+b>b
所以可能在直线y=b的上方

（2)因为f(x)在[0,2]增函数
所以f（2）>f(1)>f(0)
因为x=2是方程 f(x)=0的一个根
所以f(2)=0=4a+b-8.....(1)
f(1)=a+b-1
f(0)=b
所以b<a+b-1<0....(2)
根据（1）（2）得a+b<=-1
所以f(1)=a+b-1<=-2

Answer 2

解:(1)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(x)=g(2-x).
当x∈[-1,0]时,则2-x∈[2，3],
所以f(x)=g(2-x)=2a(2-x-2)-3(2-x-2)^3=-2ax+3x^3
即f(x)=-2ax+3x^3;
当x∈[0,1]时,根据偶函数关于y轴对称可得
f(x)=f(-x)=2ax-3x^3.
综上所述,当x∈[-1,0]时,f(x)=-2ax+3x^3;
当x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=2ax-3x^3.
(2)当x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=2ax-3x^3,
其导数为2a-9x^2.
由2a-9x^2>0得x^2<2a/9,所以-根号(2a/9)<x<根号(2a/9).
又a>9/2,所以2a/9>1,根号(2a/9)>1.
所以当x∈[0,1]时,2a-9x^2>0恒成立,即x∈[0,1]时f(x)增函数;
由对称性,知x∈[-1,0]时f(x)减函数;
所以 不能