【二次函数和圆综合题】如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交Y轴于A点,交X轴于B,C两点
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交Y轴于A点,交X轴于B,C两点(B在C的左侧)。已知A点坐标为(0,3).1.求抛物线的解析式(Y=¼...
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交Y轴于A点,交X轴于B,C两点(B在C的左侧)。已知A点坐标为(0,3).
1.求抛物线的解析式(Y=¼x²-2x+3)
2.过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D(D在X轴上方),如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与圆C有什么位置关系,并证明
3.已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积
如图 展开
1.求抛物线的解析式(Y=¼x²-2x+3)
2.过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D(D在X轴上方),如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与圆C有什么位置关系,并证明
3.已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积
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6个回答
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1、设y=a(x-4)²-1,将(0,3)代入,a=1/4
2、令Y=0,X1=2,X2=6,A(0,3),B(2,0),C(6,0),对称轴X=4,
两直线垂直,斜率之积等于-1,Kab*Kbd=-1,Kab=-3/2,Kbd=2/3,
直线BD:y=2/3(x-2)
点C到直线BD的距离即为半径r:r=8/根号下13 ,外离
3、|AC|=3根号5,直线AC:y=-1/2(x-6),
设直线y=-1/2x+m与直线AC平行,
联立y=-1/2x+m与抛物线,由△=0,解得m=? ,解得交点坐标P?
交的坐标P到直线AC的距离即为三角形的高,从而解得△PAC的面积
2、令Y=0,X1=2,X2=6,A(0,3),B(2,0),C(6,0),对称轴X=4,
两直线垂直,斜率之积等于-1,Kab*Kbd=-1,Kab=-3/2,Kbd=2/3,
直线BD:y=2/3(x-2)
点C到直线BD的距离即为半径r:r=8/根号下13 ,外离
3、|AC|=3根号5,直线AC:y=-1/2(x-6),
设直线y=-1/2x+m与直线AC平行,
联立y=-1/2x+m与抛物线,由△=0,解得m=? ,解得交点坐标P?
交的坐标P到直线AC的距离即为三角形的高,从而解得△PAC的面积
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解:(1)设抛物线为y=a(x-4)^2-1,
∵抛物线经过点A(0,3),
∴3=a(0-4)^2-1,a=1/4;
∴抛物线为 y=1/4(x-4)^2-1=1/4x^2-2x+3
(2)相交.证明:连接CE,则CE⊥BD,
当1/4(x-4)^2=0时,x1=2,x2=6.
A(0,3),B(2,0),C(6,0),
对称轴x=4,
∴OB=2,
AB=√(2^2+3^2)= √13 BC=4,
∵AB⊥BD,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,
∴△AOB∽△BCE,
∴AB/BC=OB/CE ,即√13/4=2/CE ,
解得CE= 8√13/13,
∵ 8√13/13>2,
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交
(3)如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;
可求出AC的解析式为y=1/2x+3
设P点的坐标为(m,1/4m^2-2m+3)
则Q点的坐标为(m,-1/2m+3)
∴PQ=-1/2m+3-(1/4m^2-2m+3)=-1/4m^2+3/2m.
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=1/2×(-1/4m^2+3/2m)×6=-3/4(m-3)^2+27/4;
∴当m=3时,△PAC的面积最大为27/4;
此时,P点的坐标为(3,-3/4)
∵抛物线经过点A(0,3),
∴3=a(0-4)^2-1,a=1/4;
∴抛物线为 y=1/4(x-4)^2-1=1/4x^2-2x+3
(2)相交.证明:连接CE,则CE⊥BD,
当1/4(x-4)^2=0时,x1=2,x2=6.
A(0,3),B(2,0),C(6,0),
对称轴x=4,
∴OB=2,
AB=√(2^2+3^2)= √13 BC=4,
∵AB⊥BD,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,
∴△AOB∽△BCE,
∴AB/BC=OB/CE ,即√13/4=2/CE ,
解得CE= 8√13/13,
∵ 8√13/13>2,
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交
(3)如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;
可求出AC的解析式为y=1/2x+3
设P点的坐标为(m,1/4m^2-2m+3)
则Q点的坐标为(m,-1/2m+3)
∴PQ=-1/2m+3-(1/4m^2-2m+3)=-1/4m^2+3/2m.
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=1/2×(-1/4m^2+3/2m)×6=-3/4(m-3)^2+27/4;
∴当m=3时,△PAC的面积最大为27/4;
此时,P点的坐标为(3,-3/4)
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2010年济宁的数学中考题,可以去搜一下答案
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