Question

已知直线l:y=kx+1与双曲线C:x²/3-y²=1的左支交于点A，右支交于点B。

【1】求斜率k的取值范围
【2】若△AOB的面积为根号6,（O为坐标原点），求直线l的方程

Answer 1

分析：1）数形结合易求解。易得双曲线渐近线方程为y=(+-)bx/a=(+-)(3^0.5)x/3,直线y=kx+1过定点D(0,1),已知直线与双曲线交点的讨论，只需考虑已知直线斜率与渐近线斜率相对大小即可，显然i)当k=(+-)b/a,已知直线仅与双曲线有一个交点，（取＋时交点在左支，取－时交点在右支）ii)当k>b/a或k<-b/a,已知直线与双曲线无交点，iii)当-b/a<k<b/a，已知直线分别交于双曲线左右支各一点，于是本题中k的取值范围为-(3^0.5)/3<k<(3^0.5)/3。2）设A(x1,y1)B(x2,y2)联立y=kx+1,x^2/3-y^2=1,消去y得(1-3k^2)x^2-6kx-6=0.于是x1+x2=6k/(1-3k^2),x1x2=-6/(1-3k^2),于是易得|x1-x2|=[(x1+x2)^2-4x1x2]^0.5=2[(6-9k^2)^0.5]/(1-3k^2),又三角形面积可表示为SAOB=(1/2)*|OD|*|x1-x2|=(1/2)*1*2[(6-9k^2)^0.5/(1-3k^2)]=6^0.5,整理得k^2(2k^2-1)=0解得k=0（须注意到其中-(3^0.5)/3<k<(3^0.5)/3）于是直线l方程为y=1。仅参考。