Question

已知函数f(x)=-acos2x-(2√3)asinxcosx+2a+b的定义域为[0,π/2]，值域为[-5,1]，求常数a、b的值

过程请尽量写详细一点

Answer 1

f(x)=-acos2x-(2√3)asinxcosx+2a+b
= -acos2x-√3asin2x+2a+b
= -2a(sin2x*cosπ/6+cos2x*sinπ/6) +2a+b
= -2a sin(2x+π/6) +2a+b
∵0≤x≤π/2
∴π/6 ≤ 2x+π/6 ≤ 7π/6
2x+π/6 = 7π/6时，sin(2x+π/6)有最小值-1/2；2x+π/6 =π/2时，sin(2x+π/6)有最大值1
∴-1/2≤sin(2x+π/6) ≤1

设a＞0：
2x+π/6 =π/2时，最小值f(x)min=-a+2a+b=-5
2x+π/6 = 7π/6时，最大值f(x)max=1/2a+2a+b=1
解得：a=4，b=-9

设a＜0：
2x+π/6 = 7π/6时，最小值f(x)min=1/2a+2a+b=-5
2x+π/6 =π/2时，最大值f(x)max=-a+2a+b=1
解得：a=-4，b=5

综上：a=4，b=-9；或a=-4，b=5

Answer 2

原式=-2asin(2x+π/6)+2a+b
2x+π/6 在π/6到7π/6之间
将sin(2x+π/6)=1/2代入
得到a+b=1
同理代入sin(2x+π/6)=1
得到b=-5
a=6
关键用到的是sin2x=2sinxcosx
和cos2x+√3sinx=2sin（2x+π/6）
可能有计算错误哦，我不太仔细的，再检查一下吧