Question

已知函数f（x）=3-2cosx-2sinx，其中x∈[0,2π]，设g（x）=（sinx-1）/f（x），求函数g（x）的值域

如题

Answer 1

解：解法1：设Y=g（x）=（sinx-1）/（3-2cosx-2sinx）
∴sinx-1=3Y-2Ysinx-2Ycosx
即（2Y+1）sinx+2Ycosx=3Y+1
∴√【（2Y+1）²+(2Y)²】 * sin（x+ψ)=3Y+1 , 其中tanψ=2Y/（2Y+1）
∴sin（x+ψ)=（3Y+1）/√（8Y²+4Y+1） ∈[ -1,1]
∴[sin（x+ψ)]²=【（3Y+1）/√（8Y²+4Y+1）】² ≤1
解得 -2 ≤Y≤0
所以函数g（x）的值域为[ -2,0] .
解法2：设t=tan(x/2) ,又sinx=2tan(x/2) / [1+【tan(x/2)】 ²] ，
cosx= [1-【tan(x/2)】 ²] / [1+【tan(x/2)】 ²]
∴Y=g(x)={2tan(x/2) / [1+【tan(x/2)】 ²] -1} / {3-2 * 2tan(x/2) / [1+【tan(x/2)】 ²]
-2 [1- 【tan(x/2)】 ²] / [1+【tan(x/2)】 ²] }
=(2t-t²-1)/（5t²-4t+1)
去分母整理得
(5Y+1)t²-(4Y+2)t+Y+1=0
当Y≠ -1/5 时，△=(4Y+2)²-4(5Y+1)（Y+1）≥0
解得 -2 ≤Y≤0
又因为 -1/5 ∈[ -2,0]
∴-2 ≤Y≤0
所以函数g（x）的值域为[ -2,0] .

Answer 2

分析：注意到asinx+bcosx=[(a^2+b^2)^0.5]sin(x+@),-1=<sin(x+@),<=1，（其中@为辅助角,tan@=b/a）。设g(x)=y,则g(x)=y=(sinx-1)/(3-2cosx-2sinx),去分母整理得(2y+1)sinx+2ycosx=1+3y,于是{[(2y+1)^2+(2y)^2]^0.5}sin(x+@)=(1+3y)由[(2y+1)^2+(2y)^2]^0.5>=|1+3y|,两边平方整理得y(y+2)<=0解得-2=<y<=0,即g(x)值域为[-2,0].仅参考。