如图2-6-1,已知抛物线的顶点为A(O,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在 20

如图2-6-1,已知抛物线的顶点为A(O,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式;(2... 如图2-6-1,已知抛物线的顶点为A(O,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在 轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式; (2)如图2-6-2,若P点为抛物线上不同于A的一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作 轴的垂线,垂足分别为S、R.①求证:PB=PS;②判断△SBR的形状;③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似,若存在,请找出M点的位置;若不存在,请说明理由. 展开
563545772
2011-02-23
知道答主
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解:(1)方法一:
∵B点坐标为(0.2),
∴OB=2,
∵矩形CDEF面积为8,
∴CF=4.
∴C点坐标为(-2,2).F点坐标为(2,2).
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
其过三点A(0,1),C(-2.2),F(2,2).
得 ,
解这个方程组,得a= ,b=0,c=1,
∴此抛物线的解析式为y= x2+1.(3分)
方法二:
∵B点坐标为(0.2),
∴OB=2,
∵矩形CDEF面积为8,
∴CF=4.
∴C点坐标为(-2,2).(1分)
根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c.
其过点A(0,1)和C(-2.2)

解这个方程组,得a= ,c=1
此抛物线解析式为y= x2+1.
(2)解:①过点B作BN⊥BS,垂足为N.
∵P点在抛物线y= x2+1上.可设P点坐标为(a, a2+1).
∴PS= a2+1,OB=NS=2,BN=a.
∴PN=PS-NS= (5分)
在Rt△PNB中.
PB=PN2+BN2=( a2-1)2+a2=( a2+1)2
∴PB=PS= .(6分)
②根据①同理可知BQ=QR.
∴∠1=∠2,
又∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
同理∠SBP=∠5(7分)
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度.
∴△SBR为直角三角形.(8分)
③方法一:
设PS=b,QR=c,
∵由①知PS=PB=b.QR=QB=c,PQ=b+c.
∴SR2=(b+c)2-(b-c)2
∴ .(9分)
假设存在点M.且MS=x,别MR= .
若使△PSM∽△MRQ,
则有 .
即x2-2 x+bc=0
∴ .
∴SR=2
∴M为SR的中点.(11分)
若使△PSM∽△QRM,
则有 .
∴ .
∴ .
∴M点即为原点O.
综上所述,当点M为SR的中点时.△PSM∽△MRQ;
当点M为原点时,△PSM∽△MRQ.(13分)
方法二:
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似,
∵∠PSM=∠MRQ=90°,
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况.
当△PSM∽△MRQ时.∠SPM=∠RMQ,∠SMP=∠RQM.
由直角三角形两锐角互余性质.知∠PMS+∠QMR=90度.
∴∠PMQ=90度.(9分)
取PQ中点为N.连接MN.则MN= PQ= (QR+PS).(10分)
∴MN为直角梯形SRQP的中位线,
∴点M为SR的中点(11分)
当△PSM∽△QRM时,
又 ,即M点与O点重合.
∴点M为原点O.
综上所述,当点M为SR的中点时,△PSM∽△MRQ;
当点M为原点时,△PSM∽△QRM.(13分)
jhy647110
2011-02-15
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no picture you say a J8........
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证人玫瑰
2011-02-14
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rjjt
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