Question

数学问题。

如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线与点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
1.求证PE=PF
2.当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由。
3.若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，此时∠A=30°，求(AP/BC)的大小

Answer 1

1.
因为MN//BC，则角PEC=BCE，而角PCE=ECB，则PEC=ECB所以PE=PC，同理PC=PF
所以PE=PF
2.不可能
假设BCEF是菱形，则BE//CF，所以角BEC等于2分之一的180度-角BCA(补角)
而ECB等于2分之一的角BCA，所以BEC等于90度
而BCEF是菱形，所以BE=BC，而直角三角形直角边不可能等于斜边，所以假设不成立
四边形BCFE不可能是菱形。
3.2分之根号3
因为AECF是正方形，所以AC垂直于EF，所以AC垂直于BC
而∠A=30°则AC/BC=根号3
因为AECF是正方形，AP=PC=2分之一的AC
所以AP/BC等于2分之根号3。

Answer 2

△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线与点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
PEC=ECB=PCE, PCE=EC外=PFC
EP=PC=PF

ACB+AC外=180
ECP+PCF=1/2(ACB+AC外)=90,EC垂直CF
假如四边形BCFE是菱形,有BC=BE=FC=FE,BF垂直平分CE,
那么CF和BF重合,四边形BCFE不成立,所以BCFE不可能是菱形

正方形AECF,
ECA=45,AP=AC/2
ACB=2ECA=90
A=30
tg30=BC/AC=√3
AC/BC=√3/3
2AP/BC=√3/3
AP/BC=√3/6

Answer 3

因为MN//BC，则角PEC=BCE，而角PCE=ECB，则PEC=ECB所以PE=PC，同理PC=PF
所以PE=PF
不可能
假设BCEF是菱形，则BE//CF，所以角BEC等于2分之一的180度-角BCA(补角)
而ECB等于2分之一的角BCA，所以BEC等于90度
而BCEF是菱形，所以BE=BC，而直角三角形直角边不可能等于斜边，所以假设不成立
四边形BCFE不可能是菱形。
不知了！

Answer 4