Question

设：a+b/a-b=b+c/b-c=c+a/c-a,求证1/a+1/b+1/c=0

Answer 1

f(x)=(a-b)x^2+(c-a)x+(b-c) a>b>c
（1）证：① △=(c-a)^2-4(a-b)(b-c)
=c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc
=a^2+c^2+4b^2+2ac-4ab-4bc
=(a+c-2b)^2≥0
② x1+x2=(a-c)/(a-b)>0
③ x1×x2=(b-c)/(a-b)>0
综上三条，∴方程f(x)=0总有两个正跟
（2）解：不等式 (a-b)x^2+(c-a)x+(b-c)≤0 (a-b>0)
二根为 x1=(b-c)/(a-b) ,x2=1
当（b-c)/(a-c)>1 即 a+c<2b 时 ，1<x<(b-c)/(a-c)
当（b-c)/(a-c)<1 即 a+c>2b 时，（b-c)/(a-c)<x<1
当（b-c)/(a-c)=1 即 a+c=2b 时，x=1
（3）解：∵3b≤2a+c ∴(b-c)/(a-b)≤2
f(x)>(a-b)(x-1)
即 (a-b)x^2+(c-a)x+(b-c)>(a-b)(x-1)
即 x^2-[（a-c)/(a-b)]x+(b-c)/(a-b)>x-1
即 x^2-[1+(b-c)/(a-b)]x+(b-c)/(a-b)>x-1
令z=(b-c)/(a-b)
则上式变为 x^2-(1+z)x+z>x-1 (0<z≤2)
即（1-x)z+x^2-2x+1>0 在 0<z≤2上恒成立
令F(z)=(1-x)z+x^2-2x+1
若x=1 ,则 F(z)=0 不合乎题意
若x≠1,则只需满足F(0)≥0 且F(2)>0
求得 x<1或x>3