Question

已知f(x)是定义在(0,正无穷）上的单调递增函数，对于任意的m,n属于（0，正无穷）满足f(m)+f(n)=f(mn)

a,b(0<a<b)满足|f(a)|=|f(b)|=2|f[(a+b)/2]|.求证：3<b<2+根号2

Answer 1

设函数是f(x)=|lgx|
f(a)=f(b)=2f[(a+b)/2]且0<a<b,所以ab=1,a=(a+b)^2/4或a=4/(a+b)^2
若4a=(a+b)^2,则a^2+b^2+2=4a>2ab+2=4(均值不等式）,a>1但ab=1，所以b=1/a<1，故b<a与a<b矛盾．
所以a(a+b)^2=4,即a^2+b^2+2=4b<b^2+3,b^2-4b+3>0,所以b>3
b^2-4b+a^2-2=0解得b=2+(2+a^2)^(1/2)<2+根号2,b=2-(2+a^2)^(1/2)<2舍去
综上有3<b<2+根号2

Answer 2

（3）证明：∵f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴x∈（0，1）时，f（x）＜0，
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
又|f（a）|=|f（b）|，
∴f（a）=f（b）或f（a）=-f（b），
∵0＜a＜b，
∴f（a）=-f（b）
∴f（a）+f（b）=f（ab）=0，
∴ab=1，
∴0＜a＜1＜b，
又∵|f(b)|=2|f(a+b 2 )|，且b＞1，a+b/ 2 ＞根号 ab =1
∴f(b)=2f(a+b 2 )，
∴4b=a2+2ab+b2，
4b-b2-2=a2，考虑到0＜a＜1，
∴0＜4b-b2-2＜1，又b＞1
∴3＜b＜2+ 根号2 ．