Question

已知函数f(x)=x^2+a㏑x,若g(x)=f(x)+2/x,在【1，4】上是减函数，求实数a的范围？

Answer 1

g(x)=f(x)+2/x=x^2+a㏑x+2/x,对g(x)求导
得g'(x)=2x+a/x-2/x^2，g(x)又在【1，4】上是减函数
g'(x)<=0，
即2x+a/x-2/x^2<=0（1）
对（1）分离参数，得a<=2/x-2x^2
令h(x)=2/x-2x^2,则a<=h(x)(min)（在【1，4】上）
h'(x)=-2/(x^2)-4x<0,单调递减，h(x)(min)=h(4)=-63/2
所以，a<=-63/2

Answer 2

g'(x)=f'(x)+(2/x)=2x+a/x-2/x^2
很显然当x在[1,+∞]时
2x≥2，并趋向无穷，当前只需求a/x-2/x^2≥0即可
解得a≥2

Answer 3

g(X)= x^2+a㏑x+2/x 在【1，4】上是减函数
设X1X2且X1大于X2
因为是减函数
所以有g(X1)-g(X2)小于0
(x1^2-x2^2)+a㏑(x1/x2)+2(1/x1-1/x2)
=(X1+X2)(X1-X2)+aln(x1/x2)+2*(x2-x1)/x1x2
=(X1+X2-2/X1X2)(X1-X2)+aln(x1/x2)
=((X1-1/X1^2)+(x2-1/X2^2)+(1/X1-1/X2)^2)(X1-X2)+aln(x1/x2)
大于零
所以aln(x1/x2)大于零
所以a大于零