Question

高三立体几何题

设三棱锥的三个侧面两两互相垂直,且侧棱长均为2√3,一球内切于三棱锥的各侧棱，则该球的表面积为
什么意思啊？

Answer 1

1.半径为R的球心为O的球面上有A，B，C三点，其中A和B及A和C的球面距离都是(1／2)πR（PS：π 即圆周率），B和C的球面距离是(1／3)πR，∠A0B=∠AOC=π/2，∠BOC=π/3。作OD⊥BC于D，则AD⊥BC。BC=R，0D=(R/2)√3，AD=√(OD^2+AO^2)=(R/2)√7，SΔABC=(1/2)BC*OD=(R^2/4)√7，SΔ0BC=(1/2)0B*OC*sin(π/3)=(R^2/4)√3，设球心到平面ABC的距离为h，则V_0ABC=(1/3)*(SΔABC)*h=(1/3)*(SΔOBC)*AO，h=(R/7)√21。2.四棱锥P－ABCD中，PA垂直底面ABCD，则PA垂直AD，又PD垂直CD，这CD垂直平面PAD，CD垂直于AD，∠ADC=π/2，同理∠ABC=π/2。取AC的中点E，则有AE=BE=CE=DE，作F垂直平面ABCD于E，则EF平行于AD，取AD中点H，过H作一个平面S平行于平面ABCD，平面S交直线EF于0，易知PO=AO=BO=CO=DO，即P，A，B，C，D五点同在一个球面上。