Question

在数列{an}中，a1=1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an,证明数列{an/n^2}是等比数列，并求{an}的通项公式

（2）令bn=a(n+1)-1/2an,求数列{bn}的前n项和Sn;(3)求数列{an}的前n项和Tn

Answer 1

an=2S(n-1)+1--(1)
a(n+1)=2Sn+1--(2)

(1)-(2),得
a(n+1)-an=2Sn-2S(n-1)=2an
得a(n+1)=3an
所以{an}为等比数列,公比为3
an=3^(n-1)

Answer 2

2a(n+1)=(1+1/n)^2*an
即2a(n+1)=((n+1)/n)^2*an
得a(n+1)/(n+1)^2=1/2 * an/n^2
a1/1=1
则数列{an/n^2}是等比数列 首相是1 公比为1/2的等比数列
得an/n^2=1*（1/2）^(n-1)
an=n^2 / 2^(n-1)
(2)bn=(2n+1)/2^n
b1=3/2 b2=5/4
Sn=b1+b2+……bn=3/2+……(2n+1)/2^n
1/2Sn=1/2 b1 +1/2 b2……+1/2b(n-1)+1/2 bn
错位下使得上式bn对上下士1/2b(n-1)对上并相减得
1/2Sn=3/2+(1/2+1/4+……+1/2^(n-1))-1/2bn
得Sn=2 + （2n-1)/2^n
(3)
Sn=T(n+1)-a1-1/2Tn
Tn /2=Sn+a1-a(n+1)
得Tn=3-(n^2+2)/2^n
大概思路就是如此
结果不能保证百分百正确
自己验证下

Answer 3

由 (a(n+1)/(n+1)² )/ (an/n²) = ((1+1/n)² * an/(n+1)²) / (an/n²) =1
所以是公比为1的等比数列
所以 an/n²=a1=1
an=n²